Дан треугольник авс на стороне ав выбрана точка к, а на отрезке ск точка l так что ак=кl=1/2кв.известно что угол сав=45,угол скв=60.доказать что аl= вl=cl

Для любой трапеции легко построить равновеликий ей треугольник. Если трапеция ABCD, AD и BC - параллельные основания, то надо провести CE II BD до пересечения с AD (в точке Е). Поскольку ВС = DE (BCED - параллелограмм, его противоположные стороны равны), треугольник АСЕ имеет ту же площадь, что и трапеция S = (AD + BC)*h/2, (где h - расстояние от С до AD, т.е. высота трапеции и треугольника).
Треугольник АСЕ имеет стороны 20 и 15 и высоту к третьей стороне 12. Можно, конечно, тупо сосчитать оба отрезка, на которые высота делит третью сторону, по теореме Пифагора, но тут легко заметить, что это "египетский" треугольник (то есть подобный прямоугольному треугольнику со сторонами 3,4,5) со сторонами 15,20,25 и высотой к гипотенузе 12, его площадь 150.

Высота делит прямоугольный треугольник на два, ему подобные (и между собой, конечно, подобные). Если высота к гипотенузе с равна h, катеты a и b, соответствующие им отрезки гипотенузы (проекции катетов на гипотенузу) равны x и y, то из этого подобия следуют таких два соотношения (второе в решении не пригодится, но может пригодиться при проверке ответа)
1. x/h = h/y; => h^2 = x*y;
2. x/a = h/b; => x/y = (a/b)^2; (надо просто подставить h = √(x*y))
Площади треугольников равны 9 и 36;
h*x/2 = 9; h*y/2 = 36; => y = 4*x; => h = √(x*y) = 2*x; 
В силу упомянутого подобия у всех трех треугольников больший катет в два раза больше меньшего (то же самое следует из второго доказанного равенства x/y = (a/b)^2;).
Далее, 
из h*x/2 = 9; и h = 2*x; получается x^2 = 9; x = 3; y = 12; c = x + y = 15;