АВС равнобедренный треугольник по условию. Окружность касается АВ в точке М, также она касается ВС в точке К. На таком же расстоянии - треугольник равнобедренный. И она касается АС в точке Р. Из точек А, В и С проведены касательные к окружности. По теореме о касательных - они равны. АМ=АР = 18. СК=СР = 18. МВ=ВК = 12. Стороны треугольника равны АВ=ВС=30 АС=36. Периметр треугольника равен 30+30+36 = 96. Полупериметр = 96:2 = 48. Площадь треугольника по формуле Герона: √48*18*18*12 = 18*24 = 432 Площадь треугольника через радиус вписанной окружности S=p*r, отсюда r = S/p = 432/48 = 9 ответ: радиус вписанной окружности равен 9.
В треугольнике АВС отношение АР:РС=2:3. Высота у треугольников АВР и ВРС общая, значит, точка Р делит площадь треугольника АВС на два в отношении 2:3 Площадь одной части этого отношения равна 35:(2+3)=7, и площадь ∆ АВР=2*7=14 Пусть в треугольнике АВР точка пересечения биссектрисы АК и отрезка ВР будет Н. Так как ВН=НР, АН - медиана и делит площадь ∆АВР пополам (свойство). Тогда площадь ∆ АВН=14:2=7 Биссектриса угла треугольника делит противоположную углу сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). ⇒ Так как АВ:АС=2:5, то ВК:КС= 2:5 Высота из А в треугольниках АВК и АКС одна и та же, следовательно, площади треугольников АВК и АКС относятся как 2:5. Отсюда площадь ∆ АВК=35:(2+5)*2=10 Т.к. площадь АВН=7, то Ѕ ∆ ВНК=Ѕ ∆ АВК-Ѕ ∆ АВН=10-7=3 В треугольнике ВРО отрезок НК || РО, и ВН=НР, поэтому НК его средняя линия. Треугольники ВНК иВРО подобны, k=1/2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.⇒ Ѕ∆ ВНК:Ѕ ∆ ВРО=k²=1/4 Тогда площадь ∆ ВОР=4 площади ВНК и равна 3*4=12 Площадь четырехугольника АВОР равна Ѕ ∆ АВР+Ѕ ∆ВРО=14+12=26 (ед. площади)
Окружность касается АВ в точке М, также она касается ВС в точке К. На таком же расстоянии - треугольник равнобедренный.
И она касается АС в точке Р.
Из точек А, В и С проведены касательные к окружности.
По теореме о касательных - они равны.
АМ=АР = 18.
СК=СР = 18.
МВ=ВК = 12.
Стороны треугольника равны АВ=ВС=30
АС=36.
Периметр треугольника равен 30+30+36 = 96.
Полупериметр = 96:2 = 48.
Площадь треугольника по формуле Герона:
√48*18*18*12 = 18*24 = 432
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности
S=p*r,
отсюда r = S/p = 432/48 = 9
ответ: радиус вписанной окружности равен 9.
Высота у треугольников АВР и ВРС общая, значит, точка Р делит площадь треугольника АВС на два в отношении 2:3
Площадь одной части этого отношения равна 35:(2+3)=7, и площадь
∆ АВР=2*7=14
Пусть в треугольнике АВР точка пересечения биссектрисы АК и отрезка ВР будет Н.
Так как ВН=НР, АН - медиана и делит площадь ∆АВР пополам (свойство).
Тогда площадь ∆ АВН=14:2=7
Биссектриса угла треугольника делит противоположную углу сторону в отношении прилежащих сторон (свойство). ⇒
Так как АВ:АС=2:5, то ВК:КС= 2:5
Высота из А в треугольниках АВК и АКС одна и та же, следовательно, площади треугольников АВК и АКС относятся как 2:5.
Отсюда площадь ∆ АВК=35:(2+5)*2=10
Т.к. площадь АВН=7, то Ѕ ∆ ВНК=Ѕ ∆ АВК-Ѕ ∆ АВН=10-7=3
В треугольнике ВРО отрезок НК || РО, и ВН=НР, поэтому НК его средняя линия. Треугольники ВНК иВРО подобны, k=1/2.
Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия.⇒
Ѕ∆ ВНК:Ѕ ∆ ВРО=k²=1/4
Тогда площадь ∆ ВОР=4 площади ВНК и равна 3*4=12
Площадь четырехугольника АВОР равна
Ѕ ∆ АВР+Ѕ ∆ВРО=14+12=26 (ед. площади)