3. Прямые CD и AF пересекаются в точке O. a) назовите образованные углы; b) определите пары смежных и вертикальных углов; c) найдите значения всех образованных углов, если один из них равен 270.

R = 3\sqrt{2}3

2

м

S = 36 м2

Объяснение:

R - радиус описанной вокруг квадрата окружности. По свойству радиуса описанной около квадрата окружности, радиус равен половине диагонали квадрата.

Рассмотрим ΔHEF: < HEF = 90^{0}90

0

, HE = 6 м = EF. По теореме Пифагора найдем гипотенузу HF:

\begin{gathered}HF^{2} = HE^{2} + EF^{2} = 6^{2} + 6^{2} = 36 + 36 = 72\\HF = \sqrt{72} = \sqrt{2*36} = 6\sqrt{2}\end{gathered}

HF

2

=HE

2

+EF

2

=6

2

+6

2

=36+36=72

HF=

72

=

2∗36

=6

2

HF также является диагональю квадрата, тогда R = HF : 2 = 6\sqrt{2} : 2 = 3\sqrt{2}6

2

:2=3

2

Площадь квадрата равна квадрату его стороны, то есть нужно возвести сторону квадрата во вторую степень:

S_{HEFG} = 6^{2} = 36.S

HEFG

=6

2

=36.

1) ∠E--общий для треугольников ΔΕΒС и ΔЕАD. Также, поскольку основы трапеции АD и ΒС параллельны, то DС--секущая, поэтому углы

∠ΕСВ=∠ЕDА как соответсвенные.

АВ также секущая, поэтому и ∠ΕΒС=∠ЕАD как соответсвенные.

Таким образом, ΔΕΒС и ΔЕАD подобные по трём углам ΔΕΒС ~ ΔЕАD.

Значит, все их соответствующие стороны пропорциональны =>  АD/ΒС=АЕ/ВЕ

7/3=14/ВЕ

ВЕ=3*14/7=3*2=6 см

2) Это треугольники ΔMEK~ΔBAK~ΔBEA~ΔMAN (т.к. согласно свойствам секущей, их соответсвенные углы равны, и их три угла равны)

3) По свойствам прямоугольника, диагонали точкой пересечения делятся попалам и они равны => OD=OC=24/2=12 см

Поэтому ΔCOD-равнобедренный

<COD=<BOA как вертикальные

<COD+<АOD=180°, т.к. они смежные

Обозначим <COD=х, <АOD=х+60°

Тогда х+х+60°=180°

2х+60°=180°

2х=180°-60°

2х= 120° | : 2

х=60°

Т.к. ΔCOD-равнобедренный, то если угол при его вершине равен 60°, то и два его других угла будут равны 60°, а значит это равносторонний треугольник, поэтому все его стороны равны 12 см

PΔCOD=12*3=36 см