3. в треугольнике mnp дано: угол p равен 90 градусов, mp = 6, pn = 8, pe –
медиана. через вершину р проведена прямая рк, перпендикулярная к
плоскости треугольника mnp, причем рк = 12. найдите ке.

Три стороны одинаковые, AB = BC = CD.
Четвертая сторона равна обоим диагоналям, AD = AC = BD.
Вот я примерно нарисовал этот 4-угольник.
Треугольник ABC равнобедренный с углами y (гамма).
Треугольник BCD равнобедренный с углами b (бета).
Треугольник ABD равнобедренный с углами a+y (a - альфа).
Треугольник ACD равнобедренный с углами a+b.
Получаем систему
{ a + (a + y) + (a + y) = 3a + 2y = 180 (ABD)
{ a + (a + b) + (a + b) = 3a + 2b = 180 (ACD)
{ (y + (a+b)) + b + b = a + y + 3b = 180 (BCD)
{ ((a+y) + b) + y + y = a + b + 3y = 180 (ABC)
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2y - 2b = 0
b = y
Подставляем
{ 3a + 2b = 180
{ a + 4b = 180
Из 1 уравнения вычитаем 2 уравнение
2a - 2b = 0
a = b
То есть все три угла равны друг другу
a = b = y
3a + 2a = 5a = 180
a = b = y = 180/5 = 36 градусов.
Самый большой угол
y + (a+b) = 3a = 3*36 = 108 градусов.

Боковая грань перпендикулярная основанию - равнобедренный треугольник с высотой Н = 12 см - высота пирамиды и разбивает грань на два прямоугольных треугольника с катетом Н = 12 см и острым углом 60

В прямоугольном треугольнике  с катетом 12 см и противолежащим углом
tg 60 = 

a = 

a =  = 4√3 - половина стороны основания равностороннего треугольника

Площадь правильного  треугольника (основания) со стороной 2а = 2 * 4√3   = 8 * 4√3 и высотой 
h =  = √144 = 12

S =  *  8√3 * 12 = 48√3 см²

 Объем пирамиды с высотой H = 12 см и площадью основания S = 48√3 см²

V = S * H = 48√3 * 12 = 576√3 (см³)