3 вершини кута, який дорівнює а, проведено промінь, перпендикулярний до його бісектриси. Цей промінь утворює з однією із сторін заданого кута гострий кут. Знайдіть цей кут.
По теореме синусов: BC : sinA = AB : sin C AB = BC · sinC / sinA = BC · sin72° / sin64° ≈ 4,125 · 0,9511 / 0,8988 ≈ 4,4 м S = 1/2 · AB · BC · sinB ≈ 1/2 · 4,4 · 4,125 · sin44° ≈ 9,075 · 0,6947 ≈ 6,3 м²
2. Используя теорему синусов решите треугольник АВС, если АВ = 8 см, ∠А = 30°, ∠В = 45°. ∠С = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105° AB : sinC = AC : sinB AC = AB · sinB / sin C = 8 · sin45° / sin105° ≈ 8 · 0,7071 / 0,9659 ≈ 5,9 см
AB : sinC = BC : sinA BC = AB · sinA / sinC = 8 · sin30° / sin105° ≈ 8 · 0,5 / 0,9659 ≈ 4,1 см
3. Используя теорему косинусов решите треугольник АВС, если АВ = 5 см, АС = 7,5 см, ∠С = 135°. В условии очевидно ошибка, так как напротив большего угла (∠С) должна лежать большая сторона (АВ), а АВ не большая. По аналогии с вариантом 1, изменим условие: ∠А = 135°
1. Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-ух лучей исходящих из этой точки. острый - угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные - углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные - углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие - углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние - углы треугольника внутри односторонние - углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные - углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу 2. луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла 3. углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) 4. углы у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого угла. вертикальные углы всегда равны 5. прямая опущенная под прямым углом к плоскости(или другой прямой) Через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один. А если предположить, что можно провести, скажем, два перпендикуляра из заданной точки, то в получившемся треугольнике будет два прямых угла, что невозможно 6. при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. равен сумме двух углов не смежных с ним. 7. отрезок биссектрисы одного из его углов до ее пересечения с противолежащей стороной треугольника. В треугольнике 3 биссектрисы 8. соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три . Свойства медиан треугольника Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой. 9. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. 10. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. треугольник имеет 3 высоты 11. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны прямоугольного треугольника называются катетами 12. треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным. Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем: Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. 13. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине 14. I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (по стороне и прилежащим углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 15. состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. отрезок, соединяющий две точки данной кривой. отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r). 16. P=2πR 17. Окружностью называется плоская геометрическая фигура, точки которой равноудалены от данной точки, центра окружности. Кругом называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром круга. S=πR²
1. Найдите площадь треугольника АВС, если
СВ = 4100 м, ∠А = 32°, ∠С = 120°.
∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 32° - 120° = 28°
По теореме синусов:
BC : sinA = AB : sinC
AB = BC · sin120° / sin32° ≈ 4100 · 0,866 / 0,5299 ≈ 6700 м
S = 1/2 · AB · BC · sinB ≈ 1/2 · 6700 · 4100 · 0,4695 ≈ 6448582,5 м²
2. Используя теорему синусов решите треугольник АВС, если
АВ = 5 см, ∠В = 45°, ∠С = 60°.
∠С = 180° - ∠А - ∠В = 180° - 45° - 60° = 75°
По теореме синусов:
АВ : sinC = BC : sinA
BC = AB·sinA/sinC = 5 · sin45° / sin75° ≈ 5 · 0,7071 / 0,9659 ≈ 3,7 см
АВ : sinC =АС : sinB
AC = AB · sinB / sinC = 5 · sin60° / sin75° ≈ 5 · 0,866 / 0,9659 ≈ 4,5 см
3. Используя теорему косинусов решите треугольник АВС, если
АС = 0,6 м, СВ = √3/4 дм, ∠С = 150°.
АС = 0,6 м = 6 дм
По теореме косинусов:
АВ = √(АС² + BC² - 2·AC·BC·cos150°) = √(36 + 3/16 + 2·6·√3/4 · √3/2) =
= √(36,1875 + 4,5) = √40,6875 ≈ 6,4 дм
По теореме синусов:
АС : sin B = AB : sin C
sinB = AC · sinC / AB ≈ 6 · 0,5 / 6,4 ≈ 0,4688
∠B ≈ 28°
∠A = 180 - ∠C - ∠B ≈ 180° - 150° - 28° ≈ 2°
2 вариант.
1. Найдите площадь треугольника АВС, если
ВС = 4,125 м, ∠В = 44°, ∠С = 72°.
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 44° - 72° = 64°
По теореме синусов:
BC : sinA = AB : sin C
AB = BC · sinC / sinA = BC · sin72° / sin64° ≈ 4,125 · 0,9511 / 0,8988 ≈ 4,4 м
S = 1/2 · AB · BC · sinB ≈ 1/2 · 4,4 · 4,125 · sin44° ≈ 9,075 · 0,6947 ≈ 6,3 м²
2. Используя теорему синусов решите треугольник АВС, если
АВ = 8 см, ∠А = 30°, ∠В = 45°.
∠С = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 30° - 45° = 105°
AB : sinC = AC : sinB
AC = AB · sinB / sin C = 8 · sin45° / sin105° ≈ 8 · 0,7071 / 0,9659 ≈ 5,9 см
AB : sinC = BC : sinA
BC = AB · sinA / sinC = 8 · sin30° / sin105° ≈ 8 · 0,5 / 0,9659 ≈ 4,1 см
3. Используя теорему косинусов решите треугольник АВС, если
АВ = 5 см, АС = 7,5 см, ∠С = 135°.
В условии очевидно ошибка, так как напротив большего угла (∠С) должна лежать большая сторона (АВ), а АВ не большая.
По аналогии с вариантом 1, изменим условие: ∠А = 135°
По теореме косинусов:
BC = √(AB² + AC² - 2·AB·AC·cosA) ≈ √(25 + 56,25 + 2 ·5 · 7,5 · 0,7071) ≈
≈ √(81,25 + 53,0325) ≈ √134,2825 ≈ 11,6 см
По теореме синусов:
BC : sin A = AB : sinC
sinC = AB · sinA / BC ≈ 5 · sin 135° / 11,6 ≈ 5 · 0,7071 / 11,6 ≈ 0,3048
∠C ≈ 18°
∠B = 180° - ∠A - ∠C ≈ 180° - 135° - 18° ≈ 27°
1. Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки и 2-ух лучей исходящих из этой точки. острый - угол меньше 90 градусов прямой = 90 градусам тупой -больше 90 градусов смежные - углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) вертикальные - углы при пересечении 2 прямых накрест лежащие - углы, при паралельных прямых которые находятся наискосок секущей внутренние - углы треугольника внутри односторонние - углы при паралельных прямых лежащие по одной стороне, соответственно соответственные - углы при паралельных прямых которые соответствуют друг другу 2. луч, исходящий из вершины угла и делящий угол на два равных угла 3. углы, сумма которых = 180 градусам (причем один является частью другого) 4. углы у которых стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми другого угла. вертикальные углы всегда равны 5. прямая опущенная под прямым углом к плоскости(или другой прямой) Через данную точку к данной прямой можно провести перпендикуляр и только один. А если предположить, что можно провести, скажем, два перпендикуляра из заданной точки, то в получившемся треугольнике будет два прямых угла, что невозможно 6. при данной вершине называется угол, смежный с углом треугольника при этой вершине. равен сумме двух углов не смежных с ним. 7. отрезок биссектрисы одного из его углов до ее пересечения с противолежащей стороной треугольника. В треугольнике 3 биссектрисы 8. соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Так как у треугольника три вершины и три стороны, то и отрезков, соединяющих вершину и середину противолежащей стороны, тоже три . Свойства медиан треугольника Точка пересечения медиан в треугольнике делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника. Медиана делит треугольник на два треугольника с одинаковой площадью. Треугольник делится тремя своими медианами на шесть равновеликих треугольников. В правильном треугольнике любая медиана является высотой и биссектрисой. 9. Медиана, проведенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы. 10. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону. треугольник имеет 3 высоты 11. Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным. Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны прямоугольного треугольника называются катетами 12. треугольник, в котором две стороны равны между собой по длине. Боковыми называются равные стороны, а последняя неравная им сторона — основанием. Треугольник, у которого все сторны равны, называется равносторонним или правильным. Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем: Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой. 13. Средняя линия треугольника параллельна одной стороне и равна ее половине 14. I признак (по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. II признак (по стороне и прилежащим углам) Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. III признак (по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 15. состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. отрезок, соединяющий две точки данной кривой. отрезок, соединяющий две точки окружности. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром (d=2r). 16. P=2πR 17. Окружностью называется плоская геометрическая фигура, точки которой равноудалены от данной точки, центра окружности. Кругом называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, которая называется центром круга. S=πR²