4. Какие из утверждений верны? 1) перпендикуляр меньше любой из наклонных
2) все наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой равны
3) наклонная совпадает с гипотенузой
4) перпендикуляр, проведенный из одной точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной
Из этой же точки к этой прямой
5) расстояние между прямой и точкой, не лежащей на прямой, равно длине перпендикуляра
проведенного из данной точки на прямую.
любая наклонная, проведенная из точки к прямой, больше перпендикуляра, проведенного из той же точки к данной прямой
Объяснение
Пример: Пусть на плоскости есть перпендикуляр AB и наклонная CD, и угол между ними равен 45 градусам. Тогда перпендикуляр AB будет меньше наклонной CD.
2) Утверждение верно. Если из одной точки проведены наклонные к одной прямой, то они будут равны.
Обоснование: По определению наклонная - это отрезок, соединяющий данную точку с прямой. Если две наклонные A и B проведены из одной точки и пересекают прямую в точках C и D, соответственно, то мы можем построить параллелограмм ACBD, где AC и BD - это диагонали. Так как диагонали параллелограмма равны, то наклонные AC и BD равны.
3) Утверждение не верно. Наклонная - это отрезок, соединяющий данную точку с прямой, а гипотенуза - это сторона прямоугольного треугольника, противоположная прямому углу. Они может быть одинаковыми только в случае, если наклонная совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника.
4) Утверждение верно. Если из одной точки проведен перпендикуляр и одна или несколько наклонных к прямой, то перпендикуляр будет меньше любой наклонной, проведенной из этой же точки к прямой.
Обоснование: Пусть дана точка A и прямая l. Пусть также проведены перпендикуляр AC и наклонная AD, и точка D лежит на прямой l. Тогда мы можем построить треугольник ACD, где AC будет гипотенузой, а AD - катетом. По теореме Пифагора длина гипотенузы всегда больше длины катета. Таким образом, перпендикуляр AC будет меньше наклонной AD.
5) Утверждение верно. Расстояние между прямой и точкой, не лежащей на прямой, равно длине перпендикуляра, проведенного из данной точки на прямую.
Обоснование: Рассмотрим точку A, не лежащую на прямой l. Пусть также проведен перпендикуляр AB из точки A на прямую l. Тогда мы можем построить прямоугольный треугольник ADB, где AB будет гипотенузой, а AD - катетом. По определению перпендикуляра, катет AD будет являться расстоянием между точкой A и прямой l.
Таким образом, верны утверждения 2, 4 и 5.