47 ! ! медианы грани abc тетраэдра dabc пересекаются в точке о, на ребре cd лежит n так , что cn: nd=2: 3. разложите вектор on по векторам ba=a , bc=c , bd=d

Решить треугольник, значит найти его не достающие основные элементы.
У данного нам треугольника BCD имеется 6 основных характеристик:
3 линейные (длины сторон ВС, CD, BD) и 3 угловые ( <B, <C и <D).
Нам известны сторона ВС и угпы В и D.
Требуется найти стороны CD и BD и <C.
<C=180°-(45°+60°)= 75° (так как сумма углов треугольника равна 180°).
Стороны CD и BD найдем по теореме синусов:
ВС/SinD=CD/SinB, отсюда CD=BC*Sin45/Sin60 или
CD=√3*(√2/2)/(√3/2) =√2.
ВD/SinC=CD/SinB, отсюда BD=CD*Sin75/Sin45.
Sin75=Sin(30+45)=Sin30*cos45+Cos30*sin45 =(1/2)*(√2/2)+(√3/2)*(√2/2).
Sin75=√2(1+√3)/4.
BD=√2*√2(1+√3)/(√2/2)*4=√2(1+√3)/2.

Сторону ВD можно найти и по теореме косинусов:
BC²=BD²+CD²-2*BD*СD*CosD или 3=BD²+2-2*BD*√2*(1/2) или
BD²-BD*√2-1=0.
Отсюда
BD=√2(1+√3)/2. Второй корень отрицательный и не удовлетворяет условию.
Или так:
BD²=BC²+CD²-2*BC*СD*CosC  или
BD²=5-2*√3*√2*Cos75.
Cos75=Cos30*Cos45-Sin30*Sin45 = √2(√3-1)/4.
Заметим, что 4+2√3 = (1+√3)² ((1+√3)²=1+2√3+3). Тогда
BD=√[(10-6+√12)/2] = √[(4+2√3)/2] = √(1+√3)²/√2 = √2(1+√3)/2.
ответ: <C=75°, CD=√2, BD=√2(1+√3)/2.

Трапеция АВСД, АД=10, ВС=5, ВD=12, АС=9 S=54
проводим высоту СН на АД
Площадь трапеции =1/2*(АД+ВС) * СН
Из точки С проводим прямую параллельную ВД до пересечения с продолжением основания АД в точке К. Четырехугольник НВСК - параллелограмм, ВС=ДК=5, ВД=СК=9, АК=АД+ДК=10+5=15, СН - высота треугольника АСК
площадь треугольника АСК = 1/2АК*СН, но АК=АД+ДК(ВС)
т.е. площадь треугольника АСК=площадь трапеции АВСД,
площадь треугольника АСК=корень(р * (р-АС)*(р-СК)*(р-АК)), где р -полупериметр
полупериметр треугольника АСК=(12+9+15)/2=18
площадь треугольника АСК=корень(18 *6*9*3)=54 = площадь трапеции АВСД