1) теорема о свойствах равнобедренного треугольника. в любом равнобедренном треугольнике: 1) углы при основании равны; 2) медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, . доказательство. оба эти свойства доказываются совершенно одинаково. рассмотрим равнобедренный треугольник авс, в котором ав = вс. пусть вв1 - биссектриса этого треугольника. как известно, прямая bb1 является ось симметрии угла авс. но в силу равенства ab = bc при той симметрии точка а переходит в с. следовательно, треугольники abb1 и cbb1 равны. отсюда все и следует. ведь в равных фигурах равны все соответствующие элементы. значит, ðbab1 = ðbcb1. пункт 1) доказан. кроме этого, ab1 = cb1, т. е. bb1 - медиана и ðbb1a = ðbb1c = 90°; таким образом, bb1 также и высота треугольника
Еще одни представители класса параллелограммов - ромб и квадрат.
Параллелограмм, у которого все стороны равны, называется ромбом.
Свойства ромба
Противоположные углы ромба равны.
В ромба сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна 180 °. Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
Диагонали ромба пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Признаки ромба
Если в параллелограмме диагонали пересекаются под прямым углом, то этот параллелограмм является ромбом.
Если в параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов, то этот параллелограмм является ромбом.
Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник является ромбом.
Если в параллелограмме одна из диагоналей является биссектрисой его угла, то этот параллелограмм является ромбом.
Если в четырехугольнике диагонали являются биссектрисами его углов и пересекаются под прямым углом, то этот четырехугольник является ромбом.
Это интересно.
Если соединить отрезками середины сторон прямоугольника, то получим ромб.
Если соединить отрезками середины сторон ромба, то получим прямоугольник.
Если у параллелограмма все высоты равны, то этот параллелограмм является ромбом.
Прямоугольник, у которого все стороны равны, называется квадратом.
Свойства квадрата
Все углы квадрата - прямые.
Диагонали квадрата пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали квадрата уровне.
Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом.
Диагонали квадрата являются биссектрисами его углов.
Признаки квадрата
Если в прямоугольнике диагонали пересекаются под прямым углом, то этот прямоугольник является квадратом.
Если ромба диагонали равны, то этот ромб является квадратом.
Если в четырехугольнике все стороны равны и все углы равны, то этот четырехугольник является квадратом.