486. Основи трапеції дорівнюють a і b (a > b), а гострі кути при основі — α і β. Знайдіть бічні сторони трапеції.

BC || AD
AD принадлежит плоскости альфа => BC || плоскости альфа
если С1 --- проекция точки С (СС1 _|_ плоскости альфа), 
В1 --- проекция точки В (ВВ1 _|_ плоскости альфа), то СС1В1В --- прямоугольник
С1В1 = СВ = 8 
искомое расстояние x=BB1=CC1 --- катет прямоугольного треугольника...
Известно, что: Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его двух смежных сторон.
DB^2 + AC^2 = 2(8^2+10^2)
x^2 + DB1^2 = DB^2 => DB^2 = x^2 + 12^2 
x^2 + AC1^2 = AC^2 => AC^2 = x^2 + 6^2
2(8^2+10^2) = 2*x^2 + 12^2 + 6^2
2*x^2 = 148 
x^2 = 74
x = V74

Дан равнобедренный ΔАСВ: С - вершина, боковые стороны АС=СВ
На продолжении медианы АМ за точку М отложим отрезок МК, равный АМ. АМ=МК=15, РК=РМ+МК=10+15=25
 Полученный четырехугольник АСКВ-параллелограмм, т.к. его диагонали АК иВС точкой пересечения М делятся пополам (ВМ=МС и АМ=МК).
Пусть АС=СВ=ВК=х, тогда 
ΔАРН подобен ΔВРК по двум углам (угол АРН=углу ВРК, угол АНР=ВРК=90), тогда АР/РК=5/25=1/5 и АН/ВК=НР/РВ=1/5
Отсюда АН=ВК/5=х/5
Из прямоугольного ΔВРК  РВ²=РК²-ВК²=25²-х²=625-х²
РВ=√(625-х²)
Т.к. НР/РВ=1/5, НР=РВ/5=1/5√(625-х²)
НВ=РВ+НР=√(625-х²)+1/5√(625-х²)=6/5√(625-х²)
Из прямоугольного ΔАВН  
АВ²=НВ²+АН²=(6/5√(625-х²))²+х²/25=(36(625-х²)+х²)/25
 
В параллелограмме D²+d²=2(a²+b²), значит 
АК²+СВ²=2(АС²+АВ²) или АК²+АС²=2АС²+2АВ² 
30²=АС²+2АВ²,  
АВ²=(30²-х²)/2=(900-х²)/2
Приравниваем АВ²:
(36(625-х²)+х²)/25=(900-х²)/2
2(36(625-х²)+х²)=25(900-х²)
45000-72х²+2х²=22500-25х²
22500=45х²
х²=500
тогда АВ²=(900-х²)/2=(900-500)/2=200
АВ=√200=10√2