54 задача. Посмотрите нужен. В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник у которого AC=BC=a. На ребре АА1 взяты точки Р1, Р2 и Р3, такие, что АР1=Р1Р2=Р2Р3=Р3А1. Площади сечении призмы, проходящих через ребро ВС И одну из точек Р1,Р2,Р3, равны соответственно

60 градусов - сумма двух равных углов в этом треугольнике (Так как если бы это были другие углы, то сумма была бы равно 150 градусов, следовательно 2 равных угла по 75 градусов. Тогда сумма двух углов не может быть равной 60 (ну раз 2 по 75)). Значит 1 угол = 2 углу = 60/2=30 градусов. Значит, 3 угол равен 180-60=120 градусов. Отношение углов равно 30/30 : 30/30 : 120/30= 1 : 1 : 4
Следовательно отновение углов первого треугольника равно отношению углов второго треугольника, следовательно треугольники подобны.
P.S. Я не знаю как подробней начало объяснить

1. Рассмотрим треугольник АВА1. Он прямоугольный, т.к. АА1 - перпендикуляр. Угол АВА1 = 30 градусам. Катет, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, значит, АВ = 2 * АА1.

2. Воспользуемся теоремой Пифагора.

АВ^2 = АА1^2 + А1В^2

(2АА1)^2 = АА1^2 + 225

4АА1^2 = АА1^2 + 225

3АА1^2 = 225

АА1^2 = 75

АА1 = 5 корней из 3.

АВ = 2 * АА1 = 10 корней из 3.

Можно решить вторым без теоремы Пифагора.

1. В прямоугольном треугольнике косинус угла равняется отношению прилежащего катета к гипотенузе.

cоs 30 = 15 / АВ

cos 30 = корень из 3 / 2

Получаем пропорцию, решаем:

АВ * корень из 3 = 30

АВ = 30 / корень из 3

АВ = 10 корней из 3

2. По той же теореме о катете, лежащем против угла в 30 градусов, вячисляем длину катета АА1:

АА1 = АВ / 2 = 5 корней из 3.