Предварительные вычисления. Радиус вписанной окружности основания r = √3/6·a Радиус описанной окружности R = √3/3·а Площадь основания S = √3/4·a² а) Сечение параллельно основанию через середину высоты. Треугольник этого сечения подобен треугольнику основания с коэффициентом подобия k = 0,5 Площадь сечения относится с площадью основания как k² s₁ = S·k² = S/4 = √3/16·a² б) Сечение проходит через боковое ребро и высоту Основание треугольника сечения r+R, высота h Площадь s₂ = 1/2(r+R)h = 1/2(√3/6·a+√3/3·a)h = 1/2√3/2·ah = √3/4·ah в) сечение через сторону основания перпендикулярно противоположному боковому ребру В треугольнике из пункта и в текущем высота h₃ общая (на рисунке синяя). Найдём ей через площадь треугольника из пункта. Нам нужна длина бокового ребра пирамиды l² = h²+R² = h²+a²/3 l = √(h²+a²/3) s₂ = 1/2 h₃l √3/4·ah = 1/2 h₃√(h²+a²/3) √3/2·ah = h₃√(h²+a²/3) h₃ = √3·ah/(2√(h²+a²/3)) s₃ = 1/2·h₃a = √3·a²h/(4√(h²+a²/3)) = 3a²h/(4√(3h²+a²)) г) сечение через центр основания параллельно боковой грани Треугольник этого сечения параллелен и подобен боковой грани пирамиды с коэффициентом подобия k = R/(R+r) = 2/3 Найдём плошадь боковой стороны Её высота (синяя) l² = h²+r² = h²+3/36·a² = h²+a²/12 l = √(h²+a²/12) площадь боковой стороны s = 1/2·al = 1/2·a√(h²+a²/12) площадь сечения s₄ = k²s = 4/9·1/2·a√(h²+a²/12) = 2/9·a√(h²+a²/12) д) Сечение через середины четырех ребер Такое сечение можно построить только проходящим через середины двух рёбер основания и двух боковых рёбер Сечение имеет форму четырёхугольника (или равносторонняя трапеция или прямоугольник) Нижнее ребро b₁ - средняя линия основания, его длина b₁ = a/2 Боковое b₂ и b₄ - средняя линия боковой грани и в два раза короче бокового ребра, длину его вычисляли раньше √(h²+a²/3) b₂ = b₄ = (√(h²+a²/3))/2 верхнее ребро b₃ - средняя линия боковой грани, проведённая параллельно основанию, его длина b₃ = a/2 Итого - у нас прямоугольник с площадью s₅ = a/2·(√(h²+a²/3))/2 = (a√(h²+a²/3))/4
Дано: δ авс∠с = 90°ак - биссектр.ак = 18 смкм = 9 смнайти: ∠акврешение. т.к. расстояние от точки измеряется по перпендикуляру, то опустим его из (·) к на гипотенузу ав и обозначим это расстояние км. рассмотрим полученный δ акм, т.к. ∠амк = 90°,то ак гипотенуза, а км - катет. поскольку, исходя из условия, катет км = 9/18 = 1/2 ак, то ∠кам = 30°. т.к. по условию ак - биссектриса, то ∠сак =∠кам = 30° рассмотрим δакс. по условию ∠аск = 90°; а∠сак = 30°, значит, ∠акс = 180° - 90° - 30° = 60° искомый ∠акв - смежный с ∠акс, значит, ∠акв = 180° - ∠акс = 180° - 60° = 120° ответ: 120°
Радиус вписанной окружности основания
r = √3/6·a
Радиус описанной окружности
R = √3/3·а
Площадь основания
S = √3/4·a²
а) Сечение параллельно основанию через середину высоты.
Треугольник этого сечения подобен треугольнику основания с коэффициентом подобия k = 0,5
Площадь сечения относится с площадью основания как k²
s₁ = S·k² = S/4 = √3/16·a²
б) Сечение проходит через боковое ребро и высоту
Основание треугольника сечения r+R, высота h
Площадь
s₂ = 1/2(r+R)h = 1/2(√3/6·a+√3/3·a)h = 1/2√3/2·ah = √3/4·ah
в) сечение через сторону основания перпендикулярно противоположному боковому ребру
В треугольнике из пункта и в текущем высота h₃ общая (на рисунке синяя). Найдём ей через площадь треугольника из пункта.
Нам нужна длина бокового ребра пирамиды
l² = h²+R² = h²+a²/3
l = √(h²+a²/3)
s₂ = 1/2 h₃l
√3/4·ah = 1/2 h₃√(h²+a²/3)
√3/2·ah = h₃√(h²+a²/3)
h₃ = √3·ah/(2√(h²+a²/3))
s₃ = 1/2·h₃a = √3·a²h/(4√(h²+a²/3)) = 3a²h/(4√(3h²+a²))
г) сечение через центр основания параллельно боковой грани
Треугольник этого сечения параллелен и подобен боковой грани пирамиды с коэффициентом подобия k = R/(R+r) = 2/3
Найдём плошадь боковой стороны
Её высота (синяя)
l² = h²+r² = h²+3/36·a² = h²+a²/12
l = √(h²+a²/12)
площадь боковой стороны
s = 1/2·al = 1/2·a√(h²+a²/12)
площадь сечения
s₄ = k²s = 4/9·1/2·a√(h²+a²/12) = 2/9·a√(h²+a²/12)
д) Сечение через середины четырех ребер
Такое сечение можно построить только проходящим через середины двух рёбер основания и двух боковых рёбер
Сечение имеет форму четырёхугольника (или равносторонняя трапеция или прямоугольник)
Нижнее ребро b₁ - средняя линия основания, его длина
b₁ = a/2
Боковое
b₂ и b₄ - средняя линия боковой грани и в два раза короче бокового ребра, длину его вычисляли раньше √(h²+a²/3)
b₂ = b₄ = (√(h²+a²/3))/2
верхнее ребро b₃ - средняя линия боковой грани, проведённая параллельно основанию, его длина
b₃ = a/2
Итого - у нас прямоугольник с площадью
s₅ = a/2·(√(h²+a²/3))/2 = (a√(h²+a²/3))/4