63. а) Дано: ABFG и DCFG — параллелограммы (рисунок 42, а), Докажите, что ABCD — параллелограмм

1. ∠BAC=18°;  ∠CAB = 72°.

2. 2 см, 7 см.

3. АС=BD=24 см.

4. 25°, 25°, 130°.

5.  20°, 70°, 90°.

Объяснение:

1.  ∠ACB=x. Тогда ∠BAC=4x.

Сумма углов треугольника равна 180°. Тук как угол В=90°, то

х+4х=90°;

5х=90°;

х=18° - угол BAC;

угол CAB =4x=4*18= 72°.

***

2.  P=2(a+b) = 18 см, где а=х  см, b=x+5 см .

2(х+х+5)=18;

2х+5=9;

2х=4;

х=2 см - меньшая сторона;

Большая сторона  равна х+5=2+5=7 см.

Проверим:

Р=2(2+7)=2*9=18 см. Всё верно!

***

3)  Треугольник АВО - равносторонний АВ=ВО=АО=12 см.

Диагонали в прямоугольнике делятся пополам. Следовательно АС=BD=2*AO=24 см .

***

4.  В ромбе все стороны  и противоположные углы равны. Следовательно треугольник АВС - равнобедренный с углом при вершине 130°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°.

∠САВ+∠АВС+∠ВСА=180°;

∠ВАС=∠ВСА=(180°-130°)/2=25°.

***

5.  Диагонали в ромбе пересекаются под углом 90° и углы при вершине делит пополам. Следовательно угол ∠АВО =∠АВС/2=140°/2=70°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°:

∠АВО+∠ВОА+∠ОАВ=180°.

∠ВАО=180°-(70°+90°)=180°-160°=20°;

Дано: 
∆ ABC — прямоугольный; 
Угол A = 60°; 
AB = 12 см; 
BO — высота. 
Найти: AO, OC. 

Решение: 

1. Рассмотрим ∆ ABC: угол B = 90°, угол А = 60°, AB = 12 см, BO — высота. Зная, что по теореме сумма всех углов треугольника = 180°, найдем угол C: 180° - угол A - угол B = 180° - 90° - 60° = 30°. По теореме катет, лежащий против угла в 30°, равен 1/2 гипотенузы. Катет AB = 12 см = 1/2 гипотенузы, следовательно, гипотенуза AC равна 12 * 2 = 24 см. 

2. Т.к. BO — высота, угол AOB = 90°. Найдем угол ABO (сумма всех углов треугольника = 180°): 180° - угол A - угол O = 180° - 60° - 90° = 30°. Катет, лежащий против угла в 30° = 1/2 гипотенузы. AO = 1/2 AB = 6 см. 

3. Найдем OC. Зная, что AC = 24 см, а AO = 6 см, OC = AC - AO = 24 см - 6 см = 18 см. 

ответ: 6 см и 18 см.