734. Рівні відрізки АВ і СD перетинаються так, що кутABC = кутBCD.
Доведіть, що AC = BD.

Показать ответ

Ответ:

1slishkomtupaya

11.04.2020 21:13

Расстоянием от точки до прямой является длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.
KD - расстояние от точки К до прямых AD и DC и оно равно 12 см.

AD⊥AB как стороны прямоугольника,
AD - проекция KА на плоскость прямоугольника, значит
KА⊥АВ по теореме о трех перпендикулярах.
KА - расстояние от точки К до стороны АВ.

DC⊥BC как стороны прямоугольника,
DС - проекция КС на плоскость АВС, значит
КС⊥ВС по теореме о трех перпендикулярах.
КС - расстояние от точки К до стороны ВС.

AD = BC = 20 см
АВ = CD = Sabcd / AD = 180 / 20 = 9 см

ΔADK: по теореме Пифагора
АК = √(DA² + DK²) = √(400+ 144) = √544 = 4√34 см

ΔCDK: по теореме Пифагора
CK = √(DK² + DC²) = √(144 + 81) = √225 = 15 см

ответ:
d(K ; AB) = AK = 4√34 см
d(K ; BC) = KC = 15 см
d(K ; CD) = KD = 12 см
d(K ; AD) = KD = 12 см

0,0(0 оценок)

Ответ:

85kurganova85

29.08.2022 23:35

Добавлю "дурацкое алгебраическое" решение.

Пусть боковая сторона треугольника AB=BC=c, тогда AC =2c cos 40° (для упрощения писанины обозначение градуса буду опускать),

$AD=\frac{2 AB\cdot AC\cdot \cos\frac{40}{2}}{AB+AC}=c\frac{4\cos 40\cdot \cos 20}{1+2\cos 40}.$

При этом $BD=\frac{BC\cdot AB}{AB+AC}=\frac{c}{1+2\cos 40};\ AC-DD=2c\cos 40-\frac{c}{1+2\cos 40}=3\Rightarrow$

$c=\frac{3(1+2\cos 40)}{2\cos40 +4\cos^2 40-1};$

$AD=\frac{12\cos 40\cdot \cos 20}{2\cos 40+4\cos^240-1}=\frac{6(\cos 60+\cos 20)}{2\cos 40+2(1+\cos 80)-1}=\frac{3(1+2\cos 20)}{2(\cos 40+\cos 80)+1}=$

$=\frac{3(1+2\cos 20)}{4\cos 60\cdot \cos 20+1}=3.$

Мы воспользовались известными (как мне кажется) в школе формулами для длины биссектрисы через прилежащие стороны и угол, а также для длины отрезка стороны, на которую опущена биссектриса.

Возможно, приведет к успеху и другой путь - в этой задаче возникают углы в 60 (угол ADB) и 120 (соответственно угол ADC) градусов, поэтому можно написать хорошие тождества, скрепляющие элементы чертежа. При этом полезно провести биссектрису DF=BD угла ADC и достроить до ромба. Правда, с первого захода довести до ответе этот путь не удалось.