9. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС проведена биссектриса СК. Отрезок КС в два раза больше отрезка КВ и на 6 см меньше катета АВ. Найдите длину катета АВ. ( Записать решение и ответ обязательно)

Дано
пусть ∆ABC -прямоугольный
(а,b-катеты, с -гипотенуза)
S∆ABC=11
P=a+b+c=22
h к с=?

Площадь треугольника
S∆ABC=½ab=½ch=11

т.к ½ab=½ch, то ab=ch , откуда
h=ab/c
по т Пифагора
с²=а²+b²
Тогда
h=ab/c=ab/✓(a²+b²) (*)

Т.к. a+b+c=22
c=22-a-b
возводим обе части в квадрат
с²=22²-44(а+b)+(a+b)²
с другой стороны , по т Пифагора:
c²=a²+b²
приравниваем выражения для с²:
484-44(а+b)+(a+b)²=a²+b²
484-44(a+b)+a²+2ab+b²=a²+b²
484-44(a+b)+2ab=0

Т.к.
S∆ABC=½аb, то
ab=2•S∆ABC=22 (1)

484-44(a+b)+44=0

11-(a+b)+1=0 => a+b=12

а²+b²=(a+b)²-2ab=12²-2•22=100 (2)

Возвращаемся к нашей высоте h (см (*))
h=ab/✓(a²+b²) =
{подставляем (1) и (2)}
=22/√100=2,2

ответ высота к гипотенузе = 2,2

r=5см

Объяснение:

Дано:

а=15см

в=20см

r=?

По теореме Пифагора вычис-

лим гипотенузу треугольника:

с=(20^2+15^2)^1/2=25(см)

Точка пересечения биссектрис

треугольника является центром

его вписанной окружности.

Окружность, вписанная в треу

гольник, касается каждой его

стороны. С другой стороны, ка

сательная перпендикулярна

радиусу, проведенному через

точку касания.

Вывод: расстояние от точки

пересечения биссекрис до ги

потенузы есть радус окруж-

ности, вписанной в этот прямо

угольный треугольник.

Используем формулу радиуса

окружности, вписанной в пря-

моугольный треугольник:

r=а+в-с/2

r=15+20-25/2=10/2=5(см)

расстояние от точки

пересечения биссектрис

до гипотенузы 5см.