Продлим а2а3 за а3 до пересечения с а4а5 (с его продолжением за точку а4), и проведем а2а6, продлим его за точку а6 до пересечения с тем же а4а5 (с его продолжением за точку а5).
Смотрим на полученный треугольник :))) Это - прямоугольний треугольник (прямой угол в вершине а2), один угол 60 градусов (это угол между продолжениями а1а2 и а4а5), прилежащий к нему катет 2*а (а - сторона шестиугольника, половина этого катета - сторона шестиугольника а2а3). а5а5 в этом треугольнике - медиана к гипотенузе, а а2О - биссектриса прямого угла. Гипотенуза равна 4*а, а второй катет 2*а*корень(3);
Нам задано практически всё, что надо, для того чтобы вычислить площадь треугольника а5а2О. Обозначим за х = а5О,
Тогда из свойства биссектрисы
(2*a + x)/(2*a - x) = корень(3), откуда находим х,
х = 2*а*(корень(3) - 1)/(корень(3) + 1);
Высота треугольника а2а5О
h = 2*a*корень(3)/2;
Откуда искомая площадь
S = (1/2)*(2*а)^2*(корень(3)/2)*(корень(3) - 1)/(корень(3) + 1) =
= a^2*(2*корень(3) - 3)/4;
я не буду вычислять, что получится, если подставить а = корень из 2^3+3, похоже, тут ошибка в условии, впрочем, дерзайте :)))
Продлим а2а3 за а3 до пересечения с а4а5 (с его продолжением за точку а4), и проведем а2а6, продлим его за точку а6 до пересечения с тем же а4а5 (с его продолжением за точку а5).
Смотрим на полученный треугольник :))) Это - прямоугольний треугольник (прямой угол в вершине а2), один угол 60 градусов (это угол между продолжениями а1а2 и а4а5), прилежащий к нему катет 2*а (а - сторона шестиугольника, половина этого катета - сторона шестиугольника а2а3). а5а5 в этом треугольнике - медиана к гипотенузе, а а2О - биссектриса прямого угла. Гипотенуза равна 4*а, а второй катет 2*а*корень(3);
Нам задано практически всё, что надо, для того чтобы вычислить площадь треугольника а5а2О. Обозначим за х = а5О,
Тогда из свойства биссектрисы
(2*a + x)/(2*a - x) = корень(3), откуда находим х,
х = 2*а*(корень(3) - 1)/(корень(3) + 1);
Высота треугольника а2а5О
h = 2*a*корень(3)/2;
Откуда искомая площадь
S = (1/2)*(2*а)^2*(корень(3)/2)*(корень(3) - 1)/(корень(3) + 1) =
= a^2*(2*корень(3) - 3)/4;
я не буду вычислять, что получится, если подставить а = корень из 2^3+3, похоже, тут ошибка в условии, впрочем, дерзайте :)))
пусть АН высота (медиана, биссектриса)
тогда АО=2/3АН (медианы пунктом пересечения делятся в соотношении 2/1 от вершины)
аналогично А1О1=2/3А1Н1 => AH=A1H1
СН=1/2АС (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)
пусть АС равно х, СН равно х/2
по теореме Пифогора из треугольника АСН 3х^2/2=AH^2 => x=AH* (корень из 6)/2
С1Н1=1/2А1С1 (напротив угла в 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы)
пусть А1С1 равно у, С1Н1 равно у/2
по теореме Пифогора из треугольника А1С1Н1 3у^2/2=A1H1^2 => у=A1H1* (корень из 6)/2
получаем х=у
по трем сторонам треугольники равны