А3,3,0) және b (2,2,7)​

1.Объём получившегося тела вращения -  сумма объёмов цилиндра с  и конуса с общим основанием с радиусом, равны высоте трапеции. 

Высота прямоугольной трапеции равна меньшей боковой стороне. 

ВН=3 ⇒ r=3

По т. Пифагора высота конуса АН= √(BA²-BH²)=4

Высота цилиндра DH =8-4=4

Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту 

Vц=π3²•4=36π см³

Объём конуса равен 1/3 произведения площади основания на высоту. 

Vk=π3²•4/3=12π см³

V=36π+12π=48π см³ (см. приложение)

------------------

2. Пусть данный треугольник АВС, угол С=90°, угол САВ=α, катет АС=а. 

Тело вращения - фигура из двух конусов с общим основанием, радиусом r которого является высота ∆ АВС, проведенная из С к гипотенузе АВ. Высота СН=r=а•sinα 

Высота h1 большего конуса - больший из отрезков, на которые основание высоты делит гипотенузу. 

Высота h2 меньшего конуса  - меньший из отрезков, на которые высота СН делит гипотенузу. 

Объём тела вращения прямоугольного треугольника -сумма объёмов получившихся конусов. 

V=V1+V2

r= a•sin α

V1=π•r²AH/3

V2= π•r²•BH/3

V=π•r²AH/3+ π•r²•BH/3

V=π•r²(AH+BH)/3; 

    AH+BH=AB

V=π•r²•AB/3 

AB=AC/cosα=a/cosα 

V=π•(a•sin α)²•(a/cosα):3=a³•sin²α/3cosα

Через  вершину конуса с основанием радиуса R проведена плоскость, которая пересекает его основание по хорде, которую видно из центра основания под углом α, а из вершины – под углом β. Найти площадь сечения. 

--------

Данное сечение конуса - равнобедренный треугольник. Пусть сторона этого треугольника равна а. 

Тогда его площадь можно выразить S=a²•sinβ/2.

1) Примем длину хорды равной х. Тогда  из треугольника в основании, образованного хордой и двумя радиусами, квадрат её длины можно выразить по т.косинусов. 

х²=2R²-2R²•cosα=2R²(1-cosα)

2) Выразим квадрат длины хорды по т.косинусов из треугольника в сечении:

х²=2а²-2а²•cosβ=2а²(1-cosβ)

3) Приравняем найденные значения х² 

2R²(1-cosα)=2а²(1•cosβ)

Выразим а² из этого уравнения:

а²=R²(1-cosα):(1-cosβ)

Отсюда

S сечения=[R²(1-cosα):(1-cosβ)]•sinβ:2