ABC прямоугольный треугольник с катетами AC=5 и BC= 12. Окружность, центр которой лежит на стороне AC, касается гипотенузы AB в точке K и катета BC в точке C. Найдите радиус
Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AC=5 и BC=12. Мы также знаем, что окружность, центр которой лежит на стороне AC, касается гипотенузы AB в точке K и катета BC в точке C.
Для начала, давайте обратимся к свойству касательных, которое говорит нам, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
То есть, радиус касательной, проведенной к окружности из точки К, и радиус, проведенный к точке K из центра окружности, будут перпендикулярны между собой. Давайте обозначим радиус окружности как r.
Так как окружность касается гипотенузы AB в точке K, радиус окружности по определению является высотой треугольника ABC из точки К. Следовательно, мы можем найти площадь треугольника ABC двумя способами:
1) используя длины катетов: S = (AC * BC) / 2,
2) используя длину гипотенузы и радиус: S = (AB * r) / 2.
Поскольку мы знаем длины катетов и высоту, найдем S первым способом.
S = (AC * BC) / 2 = (5 * 12) / 2 = 30.
Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 30. Найдем площадь треугольника ABC вторым способом, используя длину гипотенузы AB и радиус r.
S = (AB * r) / 2.
Заметим, что гипотенуза AB равна √(AC^2 + BC^2), так как треугольник ABC прямоугольный.
Итак, у нас есть прямоугольный треугольник ABC, где AC=5 и BC=12. Мы также знаем, что окружность, центр которой лежит на стороне AC, касается гипотенузы AB в точке K и катета BC в точке C.
Для начала, давайте обратимся к свойству касательных, которое говорит нам, что касательная, проведенная к окружности из точки касания, перпендикулярна радиусу, проведенному к точке касания.
То есть, радиус касательной, проведенной к окружности из точки К, и радиус, проведенный к точке K из центра окружности, будут перпендикулярны между собой. Давайте обозначим радиус окружности как r.
Так как окружность касается гипотенузы AB в точке K, радиус окружности по определению является высотой треугольника ABC из точки К. Следовательно, мы можем найти площадь треугольника ABC двумя способами:
1) используя длины катетов: S = (AC * BC) / 2,
2) используя длину гипотенузы и радиус: S = (AB * r) / 2.
Поскольку мы знаем длины катетов и высоту, найдем S первым способом.
S = (AC * BC) / 2 = (5 * 12) / 2 = 30.
Теперь мы знаем, что площадь треугольника ABC равна 30. Найдем площадь треугольника ABC вторым способом, используя длину гипотенузы AB и радиус r.
S = (AB * r) / 2.
Заметим, что гипотенуза AB равна √(AC^2 + BC^2), так как треугольник ABC прямоугольный.
AB = √(AC^2 + BC^2) = √(5^2 + 12^2) = √(25 + 144) = √169 = 13.
Теперь мы можем подставить известные значения в формулу для площади треугольника:
30 = (13 * r) / 2.
Умножим обе части уравнения на 2 и разделим на 13, чтобы найти значение радиуса:
60/13 = r.
Таким образом, радиус окружности, описанной вокруг треугольника ABC, равен 60/13.
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять решение задачи! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!