ABCD - четырехугольник , ∠A = ∠C = 90° , AC = m , DC = n ,
∠ABD = a .

Найти : диагональ BD

,

говорю сразу , нельзя сказать , что abcd - прямоугольник т.к у него противоположные стороны равны , т.к можно выстроить четырехугольник с противоположными углами 90° , но остальные будут к примеру 30° и 150° .

​​

1) Периметр трапеции равен АВ+ВС+СД+АД, тогда АВ+ВД=64-24-30=10

АВ=ВД=5 см., т.к. трапеция равнобедренная.

2) Проведем высоты ВН и СМ, тогда четырехугольник ВНМС будет параллелограммом, т.к. ВН || СМ (высоты), ВС || НМ (как основания)

ВС=НМ, ВН=СМ по св-ву параллелограмма.

3) НМ=24, тогда АН+МД=30-24=6, а АН=МД, т.к. прямоугольные треугольники равны (док-во из первой задачи)

АН=МД=3 см.

По теореме пифагора найдем ВН=4

4) Площадь трапеции равна половине произведения оснований, помноженное на высоту, т.е. 24+30/2 * 4=108 см.2

а)Так как AB//CD, то дуга АС=дуге ВD => угол FBA=углу DCE, как опирающиеся на равные дуги одной окружности.

Аналогично доказываем, что угол BFD = углу CEA.

Точки пересечения хорд назовем М и N (см. рисунок).

Треугольники FBM и ECN подобны по двум углам. А так как по условию FM//EN и BM//CN, то FB//CE.

б)Так как в ромбе все стороны равны и АН = половине АВ, АН= половине AD. Получается, что в прямоугольном треугольнике ADH катет равен половине гипотенузы => <ADH = 30 градусов., тогда <DAH=60 градусов. Противоположные углы ромба равны, значит угол С=60 градусов. Угол D + угол B=180 градусов, значит <D = 120 гр. И <B=120гр.

Периметр. Рассмотрим тр. DAB, он равнобедренный и угол А=60 гр., значит углы D и В равны по 60 гр., т. е. треугольник DAB равносторонний и его стороны равны по 3,5см.

Таким образом DA=AB=BC=CD=3,5см. Значит периметр равен 3,5*4=14

ответ: 14см.

в)См. рисунок.

ОА перпендикулярен АМ и ЕВ перпендикулярен АМ , значит ОА//ЕВ. Отсюда следует, что Треугольники МАО и МВЕ перпендикулярные и они подобны по двум углам (углы АОМ и ВЕМ равны как соответственные). Из подобия следует, что АМ:ВМ= АО: ВЕ=3:1 =>AB:ВМ=2:1. Обозначим АВ=2х, ВМ=1х.

Из треугольника ЕВМ по теореме Пифагора найдем ЕМ. ЕМ²=ЕВ²+ВМ² => EM²=1²+x²=1+x².

Таким образом ОМ= 3+1+ЕМ= 4+кор.из(1+х²)

С другой стороны по теореме Пифагора ОМ²=9+9х² => OM= кор.из(9+9х²)

Составим уравнение : кор.из(9+9х²)=4+кор.из(1+х²) Решая это уравнение, получаем, что х=кор.из3

Рассмотрим теперь треугольник ВЕМ. Так как он прямоугольный, то tg угла ВМЕ равен отношению противолежащего катета к прилежащему, т. е. ВЕ:ВМ=1:кор.из3 => угол ВМЕ=30градусов.

Угол ВМЕ = углу КМЕ (Отрезки касательных к окружности, проведенных из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.)=> угол ВМК=60градусов.

г)Обозначим гипотенузу треугольника с. cos a=b/c =>c=b/cos a

Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности, значит радиус этой окружности равен с/2=b/(2cos a).

Длина окружности равна 2πR= 2*π*b/(2cos a)=(π*b)/cos a