Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10 см. Точка пересечения диагоналей отдалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь этой трапеции.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
Четырёхугольник ABCD - равнобедренная трапеция (AD = BC, DC и АВ - основания).
DC < АВ.
АС и DB - диагонали.
Точка О - точка пересечения АС и DB.
ОЕ - расстояние от точки О до DC.
ОН - расстояние от точки АВ.
ОЕ = 2 см.
ОН = 3 см.
DC = 10 см.
Найти:
S(ABCD) = ?
Рассмотрим ΔDOC и ΔBOA. По свойству трапеции ΔDOC ~ ΔBOA (это не сложно доказать, если рассмотреть пару равных накрест лежащих углов при параллельных прямых).
ОН - высота ΔBOA, ОЕ - высота ΔDOC. У подобных треугольников отношение линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и так далее) равно коэффициенту подобия.
∠DOC = ∠AOB (так как они вертикальные). В подобных треугольниках против равных углов лежат сходственные стороны. А отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
То есть -
Подставим известные нам значения в формулу -
AB = 15 см.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.
Отрезок ЕН - высота, так как перпендикулярна основаниям. ЕН = ОЕ+ОН = 2 см+3 см = 5 см.
Полусумма оснований = 0,5*(DC+АВ) = 0,5*(10 см+15 см) = 0,5*25 см = 12,5 см.
Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К М Е Т, центр вписанной окружности О. Стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому: КВ=КМ, МС=СЕ, ЕД=ДТ, АК=АТ. Проведём из вершины С высоту СН и из точки М высоту МТ к основанию АД. МТ является диаметром вписанной окружности и поэтому МТ=6×2=12. СН имеет такую же величину, как МТ. Поэтому
МТ=СН=АВ=12см. Для того чтобы найти площадь трапеции нужно найти её основания, поскольку площадь вычисляется по формуле:
S=(BC+АД)/2×СН. СН=12см.
Если АВ является диаметром, то АК=ВК=радиусу=6см. Так как ВК=ВМ, и АК=АТ, то ВК=ВМ=АК=АТ=6см. АД=6+8=14см. Высоты МТ и СН делят АД так, что ТН=МС. МС=СЕ, поэтому МС=СЕ=ТН. Пусть эти отрезки=х, тогда СД=8+х, ВС=6+х, ДН=8-х. Рассмотрим полученный ∆СДН: в нём: СД - гипотенуза, СН и ДН- катеты. Составим уравнение используя теорему Пифагора: СД²-ДН²=СН²
(х+8)²-(8-х)²=12²
х²+16х+64-(64-16х+х²)=144
х²+16х+64-64+16х-х²=144
32х=144
х=144÷32
х=4,5
ВС=6+4,5=10,5см
Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания:
Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 10 см. Точка пересечения диагоналей отдалена от оснований на 2 см и 3 см. Найдите площадь этой трапеции.
Чертёж смотрите во вложении.
Дано:
Четырёхугольник ABCD - равнобедренная трапеция (AD = BC, DC и АВ - основания).
DC < АВ.
АС и DB - диагонали.
Точка О - точка пересечения АС и DB.
ОЕ - расстояние от точки О до DC.
ОН - расстояние от точки АВ.
ОЕ = 2 см.
ОН = 3 см.
DC = 10 см.
Найти:
S(ABCD) = ?
Рассмотрим ΔDOC и ΔBOA. По свойству трапеции ΔDOC ~ ΔBOA (это не сложно доказать, если рассмотреть пару равных накрест лежащих углов при параллельных прямых).
ОН - высота ΔBOA, ОЕ - высота ΔDOC. У подобных треугольников отношение линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и так далее) равно коэффициенту подобия.
∠DOC = ∠AOB (так как они вертикальные). В подобных треугольниках против равных углов лежат сходственные стороны. А отношение сходственных сторон подобных треугольников равно коэффициенту подобия.
То есть -
Подставим известные нам значения в формулу -
AB = 15 см.
Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований и высоты оснований.
Отрезок ЕН - высота, так как перпендикулярна основаниям. ЕН = ОЕ+ОН = 2 см+3 см = 5 см.
Полусумма оснований = 0,5*(DC+АВ) = 0,5*(10 см+15 см) = 0,5*25 см = 12,5 см.
S(ABCD) = 12,5 см*5 см = 62,5 см².
ответ: 62,5 см².
ответ: S=147см²
Объяснение: Обозначим вершины трапеции А В С Д а точки касания К М Е Т, центр вписанной окружности О. Стороны трапеции являются касательными к вписанной окружности и отрезки касательных соединяясь в одной вершине равны от вершины до точки касания. Поэтому: КВ=КМ, МС=СЕ, ЕД=ДТ, АК=АТ. Проведём из вершины С высоту СН и из точки М высоту МТ к основанию АД. МТ является диаметром вписанной окружности и поэтому МТ=6×2=12. СН имеет такую же величину, как МТ. Поэтому
МТ=СН=АВ=12см. Для того чтобы найти площадь трапеции нужно найти её основания, поскольку площадь вычисляется по формуле:
S=(BC+АД)/2×СН. СН=12см.
Если АВ является диаметром, то АК=ВК=радиусу=6см. Так как ВК=ВМ, и АК=АТ, то ВК=ВМ=АК=АТ=6см. АД=6+8=14см. Высоты МТ и СН делят АД так, что ТН=МС. МС=СЕ, поэтому МС=СЕ=ТН. Пусть эти отрезки=х, тогда СД=8+х, ВС=6+х, ДН=8-х. Рассмотрим полученный ∆СДН: в нём: СД - гипотенуза, СН и ДН- катеты. Составим уравнение используя теорему Пифагора: СД²-ДН²=СН²
(х+8)²-(8-х)²=12²
х²+16х+64-(64-16х+х²)=144
х²+16х+64-64+16х-х²=144
32х=144
х=144÷32
х=4,5
ВС=6+4,5=10,5см
Теперь найдём площадь трапеции зная высоту и оба основания:
S=(10,5+14)/2×12=24,5/2×12
=24,5×6=147см²