ABCD - правильный тетраэдр. Все ребра имеют длину 8; точка М – середина АD; точка K - середина DB; точка Р лежит на ребре DС, DР = 6. Найдите: А) Точку Х1 пересечения MР и плоскости АВС;
Б) Точку Х2 пересечения КР и плоскости АВС;
В) Длину Х1Х2;
Г) Точку пересечения прямой МР и плоскости АКС;
Д) Прямую пересечения плоскостей МХ1К и Х2DC;
Е) В каком отношении плоскость МХ1Х2 делит отрезок DB (считая от В).
третий угол(альфа) равен 180-30-45=105 град
тогда по теореме синусов
а/sina=b/sinb=c/sinc c- это гамма пусть будет,
тогда напротив стороны АС лежит угол В, значит теорему синусов можно записать так:
СВ/sina=AC/sinb=AB/sinc, тогда подставим известное
СВ/sin105=12/sin45=AB/sin30
Поскольку надо найти только АВ, то нас интересует только выражение
12/sin45=AB/sin30, где sin45=кореньиз2/2, а /sin30=0,5, тогда получим:
12*2/корень из2=0,5*АВ
тогда АВ=12/корень из 2
ответ: АВ = 12/корень из 2
d( K , CD) = d( K , BC) - ?
Проведем из вершины A высоту ромба : AH ⊥ CD (AH = h) и соединим точка H с точкой K . KH -наклонная , AH ее проекция на плоскости ABCD.
По теореме трех перпендикуляров CD ⊥ KH ,т.е. KH есть расстояние от точки K до стороны CD .
Из ΔKAH : KH = √(KA² +AH²).
Сторона ромба равно a =√ ( (BD/2)² +(AC/2)² ) = (1/2)*√ ( BD² +AC)² =
(1/2)*√ ( 30² +40)² =(1/2)*50=25.
S(ABCD) =BD*AC/2 = 30*40/2 = 600. C другой стороны S(ABCD) =a*AH ⇒
600 =25*AH ⇒AH =24.
Окончательно :
KH = √(KA² +AH²) = √(10²+24)² =√(100+576) =√676=26.
ответ : 26.