AM - медиана равнобедренного треугольника ABC (рис. 1). Точка K лежит на его основании AC так, что отрезок MK перпендикулярен AC. Найдите длину стороны AC данного треугольника, если CK = 11
Пусть имеем треугольную пирамиду SABC. Вертикальное ребро SA - высота пирамиды, равна 8√3 см. SД - высота наклонной боковой грани, АД - высота основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SАД. По заданию угол SАД равен 30 градусов. Тогда высота АД = SA/(tg 30) = 8√3/(1/√3) = 8*3 = 24 см. Высота SД = SА/(sin 30) = 8√3/(1/2) = 16√3 см. Площадь основания So = (1/2)*12*24 = 144 см². Боковое ребро основания равно: АС = √(24²+6²) = √(576 + 36) = √612 = 6√17 см. Площадь боковой поверхности равна: Sбок = 2*(1/2)*(6√17)*(8√3) + (1/2)*12*16√3 = = 48√51 + 96√3 = 48(√51 + 2√3) см². Полная площадь поверхности пирамиды равна: S = So + Sбок = 144 + 48(√51 + 2√3) см².
В треугольнике АЕD по условию АЕ=ЕD. ∆ АЕD равнобедренный, углы при основании AD равны.
Примем углы при АD равными а.
По свойству внешнего угла треугольника ∠DEB=2a ( т.е. равен сумме внутренних не смежных с ним углов),
Сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. ⇒
В треугольнике BED ∠ В=90°-2а
Из суммы углов треугольника каждый из равных при основании АС углов равнобедренного треугольника АВС равен (180°- АВС):2
∠САВ=(180°-(90°-2а):2=45°+а
∠САВ=угол САD+a⇒
∠САD=CAB-a
Угол СAD=45°+a-a=45°
Вертикальное ребро SA - высота пирамиды, равна 8√3 см.
SД - высота наклонной боковой грани,
АД - высота основания.
Рассмотрим прямоугольный треугольник SАД.
По заданию угол SАД равен 30 градусов.
Тогда высота АД = SA/(tg 30) = 8√3/(1/√3) = 8*3 = 24 см.
Высота SД = SА/(sin 30) = 8√3/(1/2) = 16√3 см.
Площадь основания So = (1/2)*12*24 = 144 см².
Боковое ребро основания равно:
АС = √(24²+6²) = √(576 + 36) = √612 = 6√17 см.
Площадь боковой поверхности равна:
Sбок = 2*(1/2)*(6√17)*(8√3) + (1/2)*12*16√3 =
= 48√51 + 96√3 = 48(√51 + 2√3) см².
Полная площадь поверхности пирамиды равна:
S = So + Sбок = 144 + 48(√51 + 2√3) см².