АВС - равнобедренный треугольник с основанием АС. Окружность радиуса 19, 2 с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания АС. Радиус окружности, вписанной в треугольник АВС равен 4,8. Найдите основание треугольника АС

6х+5у-30=0
5y = -6x + 30
у = -6/5x + 6
перпендикуляр, проведённый к этой прямой из начала координат будет иметь обратный угловой коэффициент
k₂ = -1/k₁ = -1/(-6/5) = 5/6
И эта прямая проходит через точку (0;0), т.е. в уравнении прямой y=ax+b b должно быть равно 0
Уравнение перпендикуляра
y = 5/6x
Точку пересечения найдём из совместного решения систему двух уравнений
у = -6/5x + 6
y = 5/6x
5/6x = -6/5x + 6
(5/6+6/5)x = 6
(25+36)x = 6*30
x = 180/61,
y = 5/6x = 150/61
И расстояние от начала координат
√((180/61)²+(150/61)²) = 30/√61

Пусть основание призмы  ΔABC:   AB =BC =13 ,  BD =12  высота  проведенная к основанию AC  Если только одна из её боковых граней квадрат вытекает, что это  грань  AA₁C₁C . Высота призмы равна : H  =  AA₁ = BB₁ =C C₁  = AC. 
Sпол =2*Sосн+Sбок =2*S(ABC) +(2*AB +AC) *H =2*1/2*AC*BD +(2*AB +AC) *AC=
AC*BD+(2*AB +  AC)*AC = AC(BD +2*AB +AC).
Из ΔABD по теореме Пифагора :
 AD =√(AB² -BD²) =√(13² -12²) =√(169 -144) =√25 =5 .
  [√(13-12)*(13+12) =√1*25 =5. ]
AC =2*AD =10  ( высота BD  одновременно и медиана _ свойство в равнобедренном треугольнике )
Sпол =AC(BD +2*AB +AC);
Sпол =10*(12 +2*13 +10) = 480 .

ответ:  480.