АВС-равнобедренный треугольник с основанием АС. Вне треугольника соответственно на лучах АВ и СВ лежат точки К и Е так,что ВК=ВЕ,точка О- середина основания. Докажите что треугольник ЕКО является равнобедренным.
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Стороны треугольника - хорды этой окружности и делят ее на три части. Если взять точку D на дуге АВ, стягиваемой хордой АВ и провести из этой точки хорды DE или DF, не проходящие через точки А и В соответственно и через точку С (оговорено в условии), то эти хорды пересекут хорду АВ и дугу АС или ВС соответственно, а значит и хорды АС или ВС, стягивающие эти дуги. Так как через две точки можно провести только одну прямую, точку D можно взять в любом месте на прямых, содержащих хорды DE или DF.
Что и требовалось доказать.
P.S. Справедливо ТОЛЬКО для одной плоскости. Если точка D не будет принадлежать плоскости треугольника, то через нее можно провести прямые, пересекающие сторону АВ, но не пересекающие сторон АС или ВС.
Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются равные равнобедренные трапеции. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти высоту этих трапеций.
Проведем из вершин В и В1 оснований пирамиды высоты (медианы) ВН и В1М. В треугольнике АВС т.О - центр вписанной окружности и делит ВН в отношении 2:1, считая от вершины (по свойству медиан). ОН=ВН:3=АВ•sin60°:6. ОH=6•√3:2):3.=√3
Аналогично находим длину МО1 в меньшем основании А1В1С1. Отрезок МО1=(√3)/3.
По т. о 3х- перпендикулярах МН⊥АС и является высотой трапеции АА1С1С.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды Ѕ(ус.пир.)=3•Ѕ(АА1С1С)=3•МН•(А1С1+АС):2.
Ѕ(ус.пир.)=3•(4:√3)•8:2=16√3 см²
————
Для нахождения высоты полной пирамиды РАВС, из которой получена данная усеченная пирамида, рассмотрим ∆ РОН и ∆ МНК. Они прямоугольные, имеют общий острый угол при вершине Н, ⇒
Объяснение:
Около любого треугольника можно описать единственную окружность. Стороны треугольника - хорды этой окружности и делят ее на три части. Если взять точку D на дуге АВ, стягиваемой хордой АВ и провести из этой точки хорды DE или DF, не проходящие через точки А и В соответственно и через точку С (оговорено в условии), то эти хорды пересекут хорду АВ и дугу АС или ВС соответственно, а значит и хорды АС или ВС, стягивающие эти дуги. Так как через две точки можно провести только одну прямую, точку D можно взять в любом месте на прямых, содержащих хорды DE или DF.
Что и требовалось доказать.
P.S. Справедливо ТОЛЬКО для одной плоскости. Если точка D не будет принадлежать плоскости треугольника, то через нее можно провести прямые, пересекающие сторону АВ, но не пересекающие сторон АС или ВС.
Объяснение:
Боковыми гранями правильной усеченной пирамиды являются равные равнобедренные трапеции. Для нахождения площади боковой поверхности нужно найти высоту этих трапеций.
Проведем из вершин В и В1 оснований пирамиды высоты (медианы) ВН и В1М. В треугольнике АВС т.О - центр вписанной окружности и делит ВН в отношении 2:1, считая от вершины (по свойству медиан). ОН=ВН:3=АВ•sin60°:6. ОH=6•√3:2):3.=√3
Аналогично находим длину МО1 в меньшем основании А1В1С1. Отрезок МО1=(√3)/3.
Из т.М опустим перпендикуляр МК на ОН.
НК= НО-МО1=√3-(√3)/3= (2√3)/3
МК - катет прямоугольного треугольника МКН с гипотенузой МН=НК:cos ∠МНК=[(2√3):3]:1/2=4/√3 .
По т. о 3х- перпендикулярах МН⊥АС и является высотой трапеции АА1С1С.
Площадь боковой поверхности данной пирамиды Ѕ(ус.пир.)=3•Ѕ(АА1С1С)=3•МН•(А1С1+АС):2.
Ѕ(ус.пир.)=3•(4:√3)•8:2=16√3 см²
————
Для нахождения высоты полной пирамиды РАВС, из которой получена данная усеченная пирамида, рассмотрим ∆ РОН и ∆ МНК. Они прямоугольные, имеют общий острый угол при вершине Н, ⇒
∆ РОН ~∆ МНК. k=НО:НК=√3:(2√3)/3=3/2
РО:МК=3/2.
МК=МН•sin60°=(4/√3 )•√3/2=2 см ⇒
PO=3 см