АВСDА1В1С1D1 - куб. М - середина відрізка А1D1 , N - середина D1С1 , К -середина DD1 . Довести, що площина А1DС1 паралельна площині МNК это

В равностороннем треугольнике:  a = b = c 
                                                     и  α = β = γ = 60°

Кроме того, в равностороннем треугольнике биссектриса
каждого угла является одновременно медианой и высотой.

Так как h - высота, то образовавшиеся 2 треугольника
являются прямоугольными.
В этих треугольниках: катеты h и а/2 и гипотенуза а.

Тогда: h² + (a/2)² = a²
           h = √(3a²/4)
           h = (a√3)/2 => 12√3 = (a√3)/2
                                     a√3 = 24√3
                                         a = 24

ответ: 24

параллелограмм АВСД, АК/КВ=2/1=2у/у, АЛ/ЛД=1/3=х/3х, АД=х+3х=4х=ВС, ВМ/МС=1/1 или 2х/2х, из точки Л проводим линию ЛЕ параллельную АВ на ВС, АЛ=ВЕ=х=ЕМ, треугольник ВЛМ ЛЕ-медиана которая делит его на два равновеликих треугольника, S ВЛЕ= S ЕЛМ =S, площадь ВЛМ=S ВЛЕ +  S ЕЛМ =2S, АВ=АК+КВ=у+2у=3у, АВМЛ-параллелограм ЛВ-диагональ, площ.АВЛ=площВЛЕ= S, из точки Л проводим высоту ЛТ на АВ, площ.АВЛ=1/2*АВ*ЛТ=1/2*3у*ЛТ, площ.КВЛ=1/2*ВК*ЛТ=1/2*у*ЛТ, площАВЛ/площКВЛ=(1/2*3у*ЛТ)/(1/2*у*ЛТ)=3/1, 3*площ.КВЛ=площАВЛ=S, площКВЛ=S/3, площКВЛ/площВЛМ=(S/3)/2S=1/6