Большим диагональным сечением правильной шестиугольной пирамиды является равносторонний треугольник, сторона которого равна 10 мм. Вычисли объём пирамиды.

1) Из формулы выразим площадь основания S(осн):

V=⅓S*(осн)*h

3=⅓*S(осн)*11

9=11*S(осн)

S(осн)=9/11 см

2) Т.к. это правильная  четырехугольная пирамида, то в основании неё лежит квадрат. Найдем сторону этого квадрата:

S(осн)=a²

a=√S(осн)

а=√9/11 см.

3) Теперь необходима найти апофему А, т.е высоту проведенную из вершины пирамиды по её боковой поверхности. Рассмотрим прямоугольный тругольник, катетами которого являются высота h и половина стороны основания, т.е. ½а. Гипотенуза является той самой апофемой А, которую мы должны найти. По теореме Пифагора:

А=√(h²+(½a)²)=√(11²+(½*√9/11)²)=√(121+¼*9/11)=√(121+9/44)=11+3/2√11=11+1.5√11 см.

4) Периметр основания:

Р=4а=4*√9/11=4*3/√11=12/√11 см.

5) Площадь боковой поверхности пирамиды:

S=½*P*A=½*12/√11*(11+1.5/√11)=6/√11*(11+1.5/√11)=66/√11+9/11≈19.9+0.8=20.7 см².

ответ: S=20.7 см²

Площадь треугольника определяется формулой

S = (a*h)/2,

где h - высота треугольника, a - основание, на которое опускается высота.

Медиана образует новый треугольник ABD, в котором известны две стороны и один из углов. Применим теорему косинусов

b^2 = a^2+c^2-2ac*cosβ,

где неивзестна лишь величина c. решением получившегося квадратного уравнения будут два корня, один из которых отбрасываем, так как он отрицателен (длина не может быть отрицательной). Таким образом, длина основания a составляет

a = 2*c = 2*1/2*(sqrt(3)+sqrt(15)) = (sqrt(3)+sqrt(15),

где sqrt() - корень числа.

теперь нужно найти высоту. Она лежит все в том же в треугольнике ABD и образует прямой угол с основанием. Таким образом, просто применяем формулу синуса угла, который нам известен и находим, что высота равна

sin 30 = h/BD,

h = sin 30*BD = 1/2*1 = 1/2.

Таким образом, площадь треугольника составляет

S = 1/2*1/2*(sqrt(3)+sqrt(15)).

S = (sqrt(3)+sqrt(15))/4.