Один из внешних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 60 градусов больше среднего арифметического. Найдите углы.
Решение.
Сумма внешних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 180°.
Пусть ∠1= х и ∠2= у - внешние односторонние углы.
Тогда, согласно условию:
х + у = 180 - уравнение 1;
х - 90 = 60 - уравнение 2,
где 90 = (х+у)/2 = 180/2 - среднее арифметическое углов.
Из уравнения (2) находим:
х = 60+90 =150°.
Подставив полученное значение х в первое уравнение, находим у:
150+у=180
у = 180-150 =30°.
Проверка.
Среднее арифметическое углов = (150+30)/2 = 90°; и больший угол больше среднего арифметического углов на 150- 90=60°, что соответствует условию задачи.
1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
∠1= 150°; ∠2=30°.
Объяснение:
Задание.
Один из внешних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 60 градусов больше среднего арифметического. Найдите углы.
Решение.
Сумма внешних односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей равна 180°.
Пусть ∠1= х и ∠2= у - внешние односторонние углы.
Тогда, согласно условию:
х + у = 180 - уравнение 1;
х - 90 = 60 - уравнение 2,
где 90 = (х+у)/2 = 180/2 - среднее арифметическое углов.
Из уравнения (2) находим:
х = 60+90 =150°.
Подставив полученное значение х в первое уравнение, находим у:
150+у=180
у = 180-150 =30°.
Проверка.
Среднее арифметическое углов = (150+30)/2 = 90°; и больший угол больше среднего арифметического углов на 150- 90=60°, что соответствует условию задачи.
ответ: ∠1= 150°; ∠2=30°.
Доказательства в объяснении.
Объяснение:
1. Угол КАВ - угол между касательной АК и хордой АВ, проходящей через точку касания А, равен половине градусной меры дуги АВ, заключённой между его сторонами. Вписанный угол АСВ опирается на эту же дугу АВ, а вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, ∠АСВ = ∠КАВ, что и требовалось доказать.
2. Т.к. углы АВК И ВАС- это внутренние накрест лежащие при КВ║АС и секущей АВ, то ∠АВК =∠ВАС. ∠АСВ = ∠КАВ (доказано выше).
По сумме внутренних углов треугольников АВС и КАВ имеем:
∠АВС = 180 - (∠АСВ + ∠ВАС)
∠АКВ = 180 - (∠КАВ + ∠АВК) =>
∠АВС = ∠АКВ. => ∠АВК = ∠АКВ =>
Треугольник КАВ - равнобедренный, так как углы при основании ВК равны. Что и требовалось доказать.
3. Треугольники АСВ и КАВ подобны по 2 признаку подобия (по двум углам) с коэффициентом подобия k = АС/АВ. (Отношение соответственных сторон треугольников).
Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия.
Sabc/Sabk = k² = АС²/АВ².
По теореме косинусов в тр-ке АВС найдем:
АВ²=2АС²-2АС²·Cosα = 2АC²·(1-Cosα).
Тогда k²=АС²/(2АC²·(1-Cosα)) = 1/(2·(1-Cosα)). =>
к² зависит только от угла α, то есть
отношение площадей зависит только от величины угла АСВ.
Что и требовалось доказать.
Объяснение: