Через конец А отрезка АВ проведена плоскость с. Через конец В и точку С отрезка АВ проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость С в точках М и N. Найти длину отрезка СМ, ​​если АС:СВ=2:3, ВМ=12. ​

Сумма углов треугольника равна 180 градусам. Угол А в два раза меньше угла В, т.е. градусную меру угла В составляет некое число, умноженное на два, а градусную меру угла А просто это число. Отсюда можно найти градусную меру этой части, за счёт чего в дальнейшем найти градусные меры угла.
Градусная мера угла С меньше заданной нами части градусной меры углов на 20 градусов, чтобы найти эту часть нужно эту разницу в 20 градусов прибавить к 180, тогда мы получаем следующее уравнение:
x+2x+x=200, 4x=200, x=50 градусов. Теперь просто подставляем найденную нами величину в заданные условием величины наших углов.
Угол А=50 градусов, угол В=2*50=100 градусов, а угол С=50-20=30.
Проверим найденные значения на верность, их сумма должна быть равна 180 градусам:
100+500+30=180, так и есть, следовательно, найденные градусные меры углов верны.
ответ: угол А=50 градусов, угол В=100 градусов, угол С=30 градусов.

Вот ничего задачка, "пятиминутка" :) (в смысле, что для решения надо потратить сколько то времени, ну хоть 5 минут)

Пусть М - точка пересечения диагоналей.

Угол ВМА = угол CAD + угол BDA;

угол САD = угол САВ (АС - биссектриса);

угол САВ = угол CDB;

поэтому угол ВМА = угол CDA;

Конечно, угол СВА = 180 - угол CDA = угол DMA;

если сумма углов 180 градусов, то синусы у них равны.

Осталось выразить площадь четырехугольника через диагонали

S = BD*AC*sin(Ф)/2 (Ф = угол ВМА = угол CDA = 180 - угол СВА = 180 - угол DMA) - это легко получить,  просто сложив (MD*AM + MB*AM + MB*MC + MC*MD)*sin(Ф)/2;

и - то же самое - через стороны четырехугольника

S = (CD*AD + AB*BC)*sin(Ф)/2; 

отсюда сразу получается нужное соотношение.