Через середину E высоты BD равнобедренного треугольника авс (АВ=ВС) проведена прямая МN//AB, М принадлежит АС, N принадлежит ВС, Найдите площадь треугольника CMN, если площадь треугольника АВС равна
BD по условию, высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию. Тогда, по теореме о высоте равнобедренного треугольника, она же является биссектрисой. Значит угол ABD=угол CBD.
Исходя из того же факта, что BD –высота, угол BDA=угол BDC=90°
Тогда ∆BDA=∆BDC как прямоугольные треугольники, по острому углу и гипотенузе, тогда и площади их равны.
S(∆ABC)=32 по условию
Значит S(∆BDA)= S(∆ABC)÷2=32÷2=16.
Так как по условию АВ||МЕ, то угол ABD=угол MED как соответственные при паралельных прямых АВ и МЕ и секущей BD.
Угол BDA=90°.
Тогда ∆ABD~∆MED по двум углам.
Точка Е делит BD пополам, тогда ED/BD=1/2, тогда коэффициент подобия треугольников 2.
Пусть ED=x, тогда BD=2x.
Пусть MD=y, тогда AD=2y.
Теорема: если угол одного треугольника, равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников будут в таком же отношении, что и произведения сторон треугольников, заключающих данные углы.
Тогда S(∆MED)/S(∆ABD)= (MD*ED)/(BD*AD)=xy/(2x*2y)= xy/4xy=1/4.
Так как мы уже нашли, что S(∆ABD)=16, то S(∆MED)=16*(1/4)=4.
Если разделить любой многоугольник на несколько частей, то площадь многоугольника равна сумме площадей полученных частей.
Тогда S(ABEM)=S(∆ABD)–S(∆MED)=16–4=12.
Проведём высоту угла BNE –NK.
Как найдено ранее, угол АВD=угол МЕD; угол АВD=угол CBD;
Угол MED=угол NEВ как вертикальные; тогда
угол NEB=угол MED=угол CBD.
Значит ∆BNE – равнобедренный. Тогда NK также является медианой, тоесть ЕК=0,5*BE.
Так как ВЕ=ED=х, то EK=0,5*x.
Исходя из того же равенства углов, и того что угол NKE=MDE, так как они оба прямые, ∆NEK~∆MED.
EK/ED=0,5x/x=0,5/1=1/2, значит коэффициент подобия 2. Тогда NK=MD÷2=y÷2=0,5*y
Найдем площадь ∆NEK.
Теорема: если угол одного треугольника, равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников будут в таком же отношении, что и произведения сторон треугольников, заключающих данные углы.
Объяснение:
Так как ∆АВС – равнобедренный, АВ=ВС.
BD по условию, высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию. Тогда, по теореме о высоте равнобедренного треугольника, она же является биссектрисой. Значит угол ABD=угол CBD.
Исходя из того же факта, что BD –высота, угол BDA=угол BDC=90°
Тогда ∆BDA=∆BDC как прямоугольные треугольники, по острому углу и гипотенузе, тогда и площади их равны.
S(∆ABC)=32 по условию
Значит S(∆BDA)= S(∆ABC)÷2=32÷2=16.
Так как по условию АВ||МЕ, то угол ABD=угол MED как соответственные при паралельных прямых АВ и МЕ и секущей BD.
Угол BDA=90°.
Тогда ∆ABD~∆MED по двум углам.
Точка Е делит BD пополам, тогда ED/BD=1/2, тогда коэффициент подобия треугольников 2.
Пусть ED=x, тогда BD=2x.
Пусть MD=y, тогда AD=2y.
Теорема: если угол одного треугольника, равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников будут в таком же отношении, что и произведения сторон треугольников, заключающих данные углы.
Тогда S(∆MED)/S(∆ABD)= (MD*ED)/(BD*AD)=xy/(2x*2y)= xy/4xy=1/4.
Так как мы уже нашли, что S(∆ABD)=16, то S(∆MED)=16*(1/4)=4.
Если разделить любой многоугольник на несколько частей, то площадь многоугольника равна сумме площадей полученных частей.
Тогда S(ABEM)=S(∆ABD)–S(∆MED)=16–4=12.
Проведём высоту угла BNE –NK.
Как найдено ранее, угол АВD=угол МЕD; угол АВD=угол CBD;
Угол MED=угол NEВ как вертикальные; тогда
угол NEB=угол MED=угол CBD.
Значит ∆BNE – равнобедренный. Тогда NK также является медианой, тоесть ЕК=0,5*BE.
Так как ВЕ=ED=х, то EK=0,5*x.
Исходя из того же равенства углов, и того что угол NKE=MDE, так как они оба прямые, ∆NEK~∆MED.
EK/ED=0,5x/x=0,5/1=1/2, значит коэффициент подобия 2. Тогда NK=MD÷2=y÷2=0,5*y
Найдем площадь ∆NEK.
Теорема: если угол одного треугольника, равен углу другого треугольника, то площади этих треугольников будут в таком же отношении, что и произведения сторон треугольников, заключающих данные углы.
S(∆NEK)/S(∆MED)=(0,5*x*0,5*y)/xy= 0,25xy/xy=0,25/1=1/4.
Тогда S(∆NEK)=S(∆MED)*(1/4)=4*(1/4)=1.
ВК=ЕК, так как NK – медиана, NK– общая сторона, угол NKE=угол NKB, так как они оба прямые. Тогда ∆NBK=∆NEK=1.
Следовательно из равенства: S(∆NEK)+S(∆NBK)=1+1=2.
S(∆MNC)=S(∆ABC)–S(ABNM)=S(∆ABC)–(S(∆NEK)+S(∆NBK))–S(ABEM)= 32–2–12=18.
ответ: 18.