Через сторону АВ квадрата АВС проведена плоскость, точки С1и D1, — ортогональные проекции вершин С и D на эту плоскость. Найдите диагонали четырёхугольника АВС1D1, и определите вид этого четырёхугольника, если АВ = 5 см, СС, = 4 см.
1. Найдем длину диагонали квадрата АВС. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.
Длина стороны квадрата АВС равна 5 см.
Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора: d^2 = a^2 + a^2, где d - диагональ, a - сторона.
Подставляем известные значения: d^2 = 5^2 + 5^2.
Выполняем вычисления: d^2 = 25 + 25 = 50.
Извлекаем корень: d = √50.
Упрощаем: d = 5√2.
Итак, длина диагонали АВС равна 5√2 см.
2. Теперь найдем длину стороны С1С. Поскольку С1С и АВ являются ортогональными проекциями одного отрезка, и проекции на плоскости сохраняют отношение длин, то сторона С1С равна 4 см.
3. Диагоналя четырехугольника АВС1D1 состоит из двух отрезков: АС1 и ВD1. Найдем их длины.
4. Рассмотрим треугольник АСС1. Он является прямоугольным, поскольку одна из его сторон (АС) - сторона квадрата АВС, а другая сторона (СС1) - сторона С1С перпендикулярна к АС.
Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину АС1.
У нас уже есть значения сторон АС и С1С: АС = 5√2 см, С1С = 4 см.
Теорема Пифагора: АС^2 = АС1^2 + С1С^2.
Подставляем известные значения: (5√2)^2 = АС1^2 + 4^2.
Выполняем вычисления: 50 = АС1^2 + 16.
Переносим 16 на другую сторону: АС1^2 = 50 - 16 = 34.
Извлекаем корень: АС1 = √34.
Значит, длина отрезка АС1 равна √34 см.
5. Аналогично, рассмотрим треугольник ВD1D. Он также является прямоугольным, поскольку одна из его сторон (БД) - сторона квадрата АВС, а другая сторона (ДD1) - сторона D1D перпендикулярна к БД.
Строим те же рассуждения, что и в пункте 4, и используем теорему Пифагора, чтобы найти длину ВD1.
У нас уже есть значения сторон ВD и D1D: ВD = 5√2 см, Д1D = 4 см.
Теорема Пифагора: ВD^2 = ВD1^2 + D1D^2.
Подставляем известные значения: (5√2)^2 = ВD1^2 + 4^2.
Выполняем вычисления: 50 = Вд1^2 + 16.
Переносим 16 на другую сторону: ВD1^2 = 50 - 16 = 34.
Извлекаем корень: ВD1 = √34.
Значит, длина отрезка ВD1 равна √34 см, также как и АС1.
6. Итак, длина диагонали четырехугольника АВС1D1 равна двойному отрезку АС1 или ВD1, то есть 2√34 см.
7. Определим вид четырехугольника АВС1D1.
Так как у четырехугольника все диагонали равны, а признак существования ромба - равенство его диагоналей, то четырехугольник АВС1D1 является ромбом.
1. Найдем длину диагонали квадрата АВС. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.
Длина стороны квадрата АВС равна 5 см.
Диагональ квадрата можно найти, используя теорему Пифагора: d^2 = a^2 + a^2, где d - диагональ, a - сторона.
Подставляем известные значения: d^2 = 5^2 + 5^2.
Выполняем вычисления: d^2 = 25 + 25 = 50.
Извлекаем корень: d = √50.
Упрощаем: d = 5√2.
Итак, длина диагонали АВС равна 5√2 см.
2. Теперь найдем длину стороны С1С. Поскольку С1С и АВ являются ортогональными проекциями одного отрезка, и проекции на плоскости сохраняют отношение длин, то сторона С1С равна 4 см.
3. Диагоналя четырехугольника АВС1D1 состоит из двух отрезков: АС1 и ВD1. Найдем их длины.
4. Рассмотрим треугольник АСС1. Он является прямоугольным, поскольку одна из его сторон (АС) - сторона квадрата АВС, а другая сторона (СС1) - сторона С1С перпендикулярна к АС.
Воспользуемся теоремой Пифагора, чтобы найти длину АС1.
У нас уже есть значения сторон АС и С1С: АС = 5√2 см, С1С = 4 см.
Теорема Пифагора: АС^2 = АС1^2 + С1С^2.
Подставляем известные значения: (5√2)^2 = АС1^2 + 4^2.
Выполняем вычисления: 50 = АС1^2 + 16.
Переносим 16 на другую сторону: АС1^2 = 50 - 16 = 34.
Извлекаем корень: АС1 = √34.
Значит, длина отрезка АС1 равна √34 см.
5. Аналогично, рассмотрим треугольник ВD1D. Он также является прямоугольным, поскольку одна из его сторон (БД) - сторона квадрата АВС, а другая сторона (ДD1) - сторона D1D перпендикулярна к БД.
Строим те же рассуждения, что и в пункте 4, и используем теорему Пифагора, чтобы найти длину ВD1.
У нас уже есть значения сторон ВD и D1D: ВD = 5√2 см, Д1D = 4 см.
Теорема Пифагора: ВD^2 = ВD1^2 + D1D^2.
Подставляем известные значения: (5√2)^2 = ВD1^2 + 4^2.
Выполняем вычисления: 50 = Вд1^2 + 16.
Переносим 16 на другую сторону: ВD1^2 = 50 - 16 = 34.
Извлекаем корень: ВD1 = √34.
Значит, длина отрезка ВD1 равна √34 см, также как и АС1.
6. Итак, длина диагонали четырехугольника АВС1D1 равна двойному отрезку АС1 или ВD1, то есть 2√34 см.
7. Определим вид четырехугольника АВС1D1.
Так как у четырехугольника все диагонали равны, а признак существования ромба - равенство его диагоналей, то четырехугольник АВС1D1 является ромбом.