Дан треугольник ABC. Плоскости α и β параллельны. Плоскость α пересекает стороны AB и BC в точках D и E соответственно, а плоскость β пересекает эти стороны в точках D1 и E1 соответственно. Если BE = 10, BE1 = 15, DE = 12, определи длину отрезка D1E1.

В условии явно не отобразилось √2 при значении диагонали. .  

Правильное условие задачи:

Найдите косинус угла между плоскостями квадрата ABCD и равностороннего треугольника ABM, если диагональ квадрата равна 4√2 см и расстояние от точки M до стороны DC равно 5 см.

Решение. (см. рисунок 1) 

Диагональ квадрата делит его на два равных прямоугольных треугольника с острым углом 45°. Поэтому сторона квадрата равна АВ=4√2•sin 45°=4 (cм).

Искомый угол - угол между высотой МН правильного треугольника АМН  и отрезком КН, проведенными перпендикулярно к середине  АВ. 

МН= АВ•sin60°=4•√3/2=2√3 

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой. 

По т. о трёх перпендикулярах МК ⊥ - ⇒ это расстояние от М до CD, равное 5 см. По т.косинусов  

cos∠MHK=(KM²-KN²+MH²):(-2•KH•MH)

cos∠MHK=(25- 16-12):(-2•4•2√3)=√3/16

              * * *

Решение по данному в вопросе условию: 

Если диагональ квадрата равна 4 см,  то, т.к. она делит квадрат на два равных прямоугольных равнобедренный с острым углом 45°,  его сторона равна 4•sin45°=2√2. 

Искомый угол - угол между перпендикулярами, проведенными в каждой плоскости к одной точке на стороне АВ. (на линии их пересечения), т.е. это угол между высотой МК треугольника АМВ и отрезком КН, проведенным через  середины сторон АВ и СD квадрата, т.к. МК⊥АВ, и НК⊥АВ.

  АВ - общая для квадрата и равностороннего треугольника, и 

МК=АВsin 60°=2√2•√3/2=√6

Расстояние от точки до прямой - длина отрезка, проведенного из данной точки перпендикулярно к прямой. 

Т.к. КН ⊥СD,  то по т. о трех перпендикулярах  МК⊥CD, ⇒ МК=5.

По т.косинусов из ∆ МКН 

cos ∠MKH=(MH²-MK²-KH²)² (- 2MK•KH)

cos ∠MKH=(25-8-6): (-2•2√12)

cos ∠MKH= -11/8√3= - 0,7939 Это косинус тупого угла. 

По данному решению рисунок в приложении 2. 

Величина угла, образованного касательной и хордой, имеющими общую точку на окружности, равна половине угловой величины дуги, заключенной между его сторонами.

Рассмотрим угол NАВ, образованный касательной NA и хордой AB.
 
Проведем диаметр АС. Касательная перпендикулярна диаметру, проведенному в точке касания, следовательно, угол(CAN)=90°
Известно, что вписанный угол равен половине центрального угла дуги, на которую он опирается. Отсюда имеем, что угол(BAC) равен половине угловой величины дуги ВС или половине угла(ВОС). угол(BAC)=угол(BOC)/2.
угол(NAB)=90°-угол(BAC), отсюда получаем
угол(NAB)=90°-угол(BOC)/2=(180°-угол(BOC))/2=угол(АОВ)/2
то есть равен половине угловой величины дуги ВА.

Фактически, это вырожденный случай теоремы о величине вписанного угла, когда вершина угла достигает конца дуги (хорды). Одна из сторон угла при этом становится касательной.

Если из внешней точки к окружности проведены касательная и секущая, то квадрат отрезка касательной от данной точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от данной точки до точек её пересечения с окружностью.

На рисунке, где MA - касательная, а MCB - секущая,

эта теорема выглядит так: МА2=МВ*МС. Докажем это.

По предыдущей теореме угол МАС равен половине угловой величины дуги АС. Но вписанный угол ABC тоже опирается на дугу AC, и по теореме о величине вписанного угла равен половине угловой величины дуги АС. Оба угла равны половине угловой величины дуги AC, следовательно, эти углы равны между собой. угол(MAC)=угол(ABC).
Принимая во внимание то, что у треугольников АМС и ВМА угол при вершине М общий, констатируем подобие этих треугольников по двум углам.
Из подобия имеем: MC/MA=МА/MB, откуда получаем МА2=МВ*МС