Я не знаю, насколько вы знакомы со свойствами ортотреугольника, поэтому коротко докажу пару свойств. Смотрите чертеж, все - в соответствии с обозначениями задачи, поэтому я не буду пояснять, где там высоты и пр. Если я пишу "cos(C)" без пояснений, то это косинус угла АСВ в исходном треугольнике.
1. тр-к А1В1С подобен АВС.
А1С = АС*cos(C);
B1C = BC*cos(C);
A1C/B1C = AC/BC, угол АСВ общий, поэтому треугольники подобны.
САМО СОБОЙ, это касается и тр-ков АВ1С1 и А1ВС1. Все эти 4 треугольника, включая исходный - подобны.
2. из 1 следует, что угол АВ1С1 = угол А1В1С. ВВ1 - препендикуляр к АС, поэтому
угол С1В1В = угол А1В1В.
То есть В1В - БИССЕТРИССА в треугольнике А1В1С1.
САМО СОБОЙ, С1С и А1А - тоже биссектрисы в треугольнике А1В1С1;
A1F/FD1 = cos(A)*sin(A)/(cos(B)*sin(B)); то есть равно отношению синусов удвоенных углов А и В в АВС. Это можно было бы и сразу записать, применяя теорему синусов к ортотреугольнику A1B1C1. Но для этого пришлось бы вычислять его углы...
Итак, задача ИДЕОЛОГИЧЕСКИ :))) решена, осталось вычислить углы в треугольнике тут множество, например, сосчитать площадь по формуле Герона, найти высоты, ну и далее - синусы и косинусы... это, так сказать, титанический А можно - по теореме косинусов.
Треугольник АВМ = треугольнику ВМС (по трём сторонам: АВ=ВС - по условию
АМ=МС - по условию
ВМ - общая)
=> угол АВМ = углу СВМ, т.е. ВМ - биссектриса угла АВС,
а биссектриса в равнобедренном треугольнике является и медианой и высотой.
=> ВМ I АС
Я не знаю, насколько вы знакомы со свойствами ортотреугольника, поэтому коротко докажу пару свойств. Смотрите чертеж, все - в соответствии с обозначениями задачи, поэтому я не буду пояснять, где там высоты и пр. Если я пишу "cos(C)" без пояснений, то это косинус угла АСВ в исходном треугольнике.
1. тр-к А1В1С подобен АВС.
А1С = АС*cos(C);
B1C = BC*cos(C);
A1C/B1C = AC/BC, угол АСВ общий, поэтому треугольники подобны.
САМО СОБОЙ, это касается и тр-ков АВ1С1 и А1ВС1. Все эти 4 треугольника, включая исходный - подобны.
2. из 1 следует, что угол АВ1С1 = угол А1В1С. ВВ1 - препендикуляр к АС, поэтому
угол С1В1В = угол А1В1В.
То есть В1В - БИССЕТРИССА в треугольнике А1В1С1.
САМО СОБОЙ, С1С и А1А - тоже биссектрисы в треугольнике А1В1С1;
Вот теперь можно и задачку порешать.
A1F/FD1 = В1С1/А1С1 по свойству биссектриссы,
но из подобия (см 1.) и теоремы синусов следует
В1С1 = АВ1*sin(A)/sin(C) = AB*cos(A)*sin(A)/sin(C);
A1С1 = А1В*sin(B)/sin(C) = AB*cos(B)*sin(B)/sin(C);
Делим одно на другое, получаем
A1F/FD1 = cos(A)*sin(A)/(cos(B)*sin(B)); то есть равно отношению синусов удвоенных углов А и В в АВС. Это можно было бы и сразу записать, применяя теорему синусов к ортотреугольнику A1B1C1. Но для этого пришлось бы вычислять его углы...
Итак, задача ИДЕОЛОГИЧЕСКИ :))) решена, осталось вычислить углы в треугольнике тут множество, например, сосчитать площадь по формуле Герона, найти высоты, ну и далее - синусы и косинусы... это, так сказать, титанический А можно - по теореме косинусов.
12^2 = 18^2 + 15^2 - 2*18*15*cos(A); cos(A) = 3/4; sin(A) = корень(7)/4;
15^2 = 18^2 + 12^2 - 2*18*15*cos(B); cos(B) = 9/16; sin(B) = корень(7)*5/16;
A1F/FD1 = 16/15
Если бы я тут за очками гнался, ни за что бы не стал за 5 очков решать эту задачу :))))))