Через точку А, яка лежить на сфері діаметра 12 см (рис. 2), проведено дотичну площину с., на якій розташовані точки, віддалені від точки А на 8 см. Знайдіть відстань від точки 0 до будь-якої з цих точок.
Намалюємо трапецію АВСД: АВ=СД, кут А - 45 градусів, оскільки трапеція рівнобічна, то кут А= кут Д = 45 градусів. Інші визначаємо так : 360-(45+45)=270:2=135- це кути В і С. З кута С пускаємо висоту до сторони АД і утворюємо трикутник СМД: кут М- 90 градусів, кут С: 135-90=45 градусів, кут Д за умовою дорівнює 45 градусів. Отже трикутник рівнобедрений, оскільки МД=СМ=10 сантиметрів. А якщо врахувати, що трапеція рівнобічна то якщо з другої сторони пустити висоту то вийде теж 10 см. А щоб дізнатись ВС потрібно 70-(10+10)=50 см.
Пусть АВ = а, тогда АС = 2а.
Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Тогда
ВЕ:ЕС = АВ:АС = 1:2
Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = EA = 2х.
В ΔЕАС по теореме косинусов для угла ЕАС:
cosα = (AE² + AC² - EC²)/(2AE·AC)
cosα = (4x² + 4a² - 4x²)/(8ax) = a/(2x)
В ΔВАЕ по теореме косинусов для угла ВАЕ:
cosα = (AB² + AE² - BE²)/(2AB·AE)
cosα = (a² + 4x² - x²)/(4ax) = (a² + 3x²)/(4ax)
(a² + 3x²)/(4ax) = a/(2x)
a² + 3x² = 2a²
a² = 3x²
a = x√3
cosα = a/(2x) = x√3/(2x) = √3/2 ⇒ α = 30°
∠ВСА = 30°
∠ВАС = 60° ⇒ ∠АВС = 90°