Плоскость, проведённая через две образующие ( DA и DB ) конуса,пересекает его основания по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом α. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен β Найдите объем конуса, если радиус его основания равен R.
Дано:
DA и DB →образующие→ ;
OA = OB = R ; DO⊥ пл. осн || DO⊥ ( пл. круга ) ||
∠AOB = α ; β = (DAB) ^ (пл. осн)
- - - - - - -
V -?
Решение : V = (1/3)S*H = (1/3)πR²*DO
В равнобедренном треугольнике AOM (OA =OB = R ) из вершины O проведем медиану OM и точка M соединим с D _вершиной конуса . OM одновременно и высота OM ⊥ AB и биссектриса ∠AOM = ∠BOM =(1/2)∠AOB = α/2 .
В треугольнике ΔAOM : OM =Rcos(α/2)
ΔDAB тоже равнобедренный DA =DB (образующие), следовательно медиана DM одновременно и высота DM ⊥ AB .
DM ⊥ AB и OM ⊥ AB ⇒ ∠DMO =β ( линейный угол)
Из ΔDOM : DO = OM*tgβ =Rcos(α/2)*tgβ ; H =DO
V =(1/3)πR²*H =(1/3)πR²*Rcos(α/2)*tgβ =(1/3)cos(α/2)*tgβ πR³
Задание 2
1) Все углы треугольника 180°
180° - (90° + 37°) = 180° - 127° = 53°
2) А = В так как Δ АВС - равнобедренный ( так как СD⊥ АВ)
180° - (90° + 45°) = 180° - 135° = 45°
3) По теореме "30° в прямоугольном треугольнике" АС = 2 ВС
АС = 15см значит ВС = 15 ÷ 2 = 7,5
4) По теореме "30° в прямоугольном треугольнике" СА = 2 АВ
АВ = 4 см значит СА = 4 * 2 = 8
5) АС = 8,4 см; ВС = 4,2 см значит АС = 2 ВС
По теореме "30° в прямоугольном треугольнике" ∠А = 30° и ∠С = 60° (180° - (90° + 30°) = 60°)
Задание 3 (если задача состоит в том чтобы придумать задачу то:)
Дано:
АС = 4 см
∠ВАD = 120°
Найти:
∠В - ?
АВ - ?
180° - 120° = 60° (∠ВАС)
180° - (90° + 60°) = 30°
По теореме "30° в прямоугольном треугольнике" АВ = 2 АС
АС = 4 см значит АВ = 4 * 2 = 8
ответ: ∠В = 30°, АВ = 8см
Плоскость, проведённая через две образующие ( DA и DB ) конуса,пересекает его основания по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом α. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен β Найдите объем конуса, если радиус его основания равен R.
Дано:
DA и DB →образующие→ ;
OA = OB = R ; DO⊥ пл. осн || DO⊥ ( пл. круга ) ||
∠AOB = α ; β = (DAB) ^ (пл. осн)
- - - - - - -
V -?
Решение : V = (1/3)S*H = (1/3)πR²*DO
В равнобедренном треугольнике AOM (OA =OB = R ) из вершины O проведем медиану OM и точка M соединим с D _вершиной конуса . OM одновременно и высота OM ⊥ AB и биссектриса ∠AOM = ∠BOM =(1/2)∠AOB = α/2 .
В треугольнике ΔAOM : OM =Rcos(α/2)
ΔDAB тоже равнобедренный DA =DB (образующие), следовательно медиана DM одновременно и высота DM ⊥ AB .
DM ⊥ AB и OM ⊥ AB ⇒ ∠DMO =β ( линейный угол)
Из ΔDOM : DO = OM*tgβ =Rcos(α/2)*tgβ ; H =DO
V =(1/3)πR²*H =(1/3)πR²*Rcos(α/2)*tgβ =(1/3)cos(α/2)*tgβ πR³
ответ: V = (1/3)cos(α/2)*tgβ πR³ ед. объема