Через вершины , и треугольника и центр вписанной в него окружности проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость, которая не имеет с треугольником общих точек, в точках , , и соответственно. Вычислить длину отрезка , если , , , , , .

TMNK- равнобедренная трапеция вписана окружность. Площадь трапеции 125. Хорда, параллельная основаниям , проведена в точки касания боковых сторон и равна 8. Найдите площадь круга.

Объяснение:

S(круга)= π R². R-?

1) Пусть О-центр вписанной окружности, ОА=ОР=ОY=R.

S (трапеции) =1/2*h*(a+b) , h=2R , (a+b)/2- длина средней линии.

2) Проведем среднюю линию НС. Она будет  параллельна АВ, и пройдет через центр О (по свойству противоположных сторон описанного четырехугольника)

3)  Т.к АВ параллельна основаниям , то ∠АХО=90° , тк радиус проведенный в точку касания перпендикулярен касательной.

ΔАХО-прямоугольный , cos∠ОАХ=АХ/АО , cos∠ОАХ=4/R

4) ∠ОАХ=∠АОН , тк АХ|| НО , АО-секущая.

ΔАОН-прямоугольный,  cos∠ОАН=АО/НО,  4/R= R/НО ,4HO=R², 2(2HO)=R²,    HC=R²/2,

5) S (трапеции) =1/2 *(a+b)  *h    или  125= R²/2*2R , 125=R ³, R=5

S(круга)= 25π  ед².

Объяснение:

1)Вписанный угол равен половине дуги на которую опирается ⇒∪2=30°*2=60° . Значит ∪1+∪2=60°+135°=195°. Вся окружность 360°. Значит ∪х=360-195°=165°.

2)∪2=360°- ∪1- ∪3=360°-122°-180°=58°.

Вписанный угол ∠х равен половине дуги на которую опирается⇒∠х=29°.

3)∠МОК-центральный, значит равен дуге на которую опирается ⇒∪МК=130°. Угол ∠MNK-висанный ⇒ ∠MNK=1/2*∪МК , ∠MNK=1/2*130°=65°

4)∠АВС-вписанный ⇒∪АС=2*∠АВС , ∪АС=94° .Центральный угол ∠АОС=∪АС, ∠АОС=94° .

5) РR-диаметр, делит все окружность на дуги 180°.  Значит ∪PR , на которую опирается вписанный угол ∠РSR , равна 180°. Поэтому ∠РSR=90°.

6)∠АВС, вписанный опирается на дугу ∪АС,∠ADC-вписанный опирается на дугу ∪АС⇒∠АВС=∠ADC=30°