Четыре дома расположены в вершинах выпуклого четырехугольника. где надо вырыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до четырех домов была наименьшей. заранее за

Условие схоже  с условием точкой Торичелли. 
Положим что точка      это точка колодца 
По неравенству треугольников 
  
 складывая 
    
равенство выполняется когда   
 тогда 
  
 а это и верно для     диагоналей  трапеций ,  заменяя   *точка пересечения  диагоналей)
 откуда следует что точка пересечения  диагоналей