Трапеция равнобокая, противоположные углы в сумме дают π По теореме косинусов для треугольника ниже диагонали z² = (2x)² + (2x)² - 2*2x*2x*cos(β) z² = 8x² - 8x²*cos(β) По теореме косинусов для треугольника выше диагонали z² = (2x)² + x² - 2*2x*x*cos(π-β) z² = 5x² + 4x²*cos(β) --- 8x² - 8x²*cos(β) = 5x² + 4x²*cos(β) 3x² = 12x²*cos(β) 3 = 12*cos(β) 1 = 4*cos(β) cos(β) = 1/4 sin(β) = √(1-cos²(β)) = √(1-1/16) = √(15/16) = √15/4 По теореме синусов, для треугольника ниже диагонали, R - разиус описанной окружности, причём окружность одна и та же и для трапеции, и для каждого из двух рассматриваемых треугольников z/sin(β) = 2R z/(√15/4) = 4*8 z = 4√15 см Это ответ.
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, заключенные между этими сторонами равны, то треугольники подобны.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ . Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказательство: Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) . Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках: АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁. Сравним полученную пропорцию с данной в условии: АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ Значит, АВ₂ = АВ. Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию). Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁. Доказано.
По теореме косинусов для треугольника ниже диагонали
z² = (2x)² + (2x)² - 2*2x*2x*cos(β)
z² = 8x² - 8x²*cos(β)
По теореме косинусов для треугольника выше диагонали
z² = (2x)² + x² - 2*2x*x*cos(π-β)
z² = 5x² + 4x²*cos(β)
---
8x² - 8x²*cos(β) = 5x² + 4x²*cos(β)
3x² = 12x²*cos(β)
3 = 12*cos(β)
1 = 4*cos(β)
cos(β) = 1/4
sin(β) = √(1-cos²(β)) = √(1-1/16) = √(15/16) = √15/4
По теореме синусов, для треугольника ниже диагонали, R - разиус описанной окружности, причём окружность одна и та же и для трапеции, и для каждого из двух рассматриваемых треугольников
z/sin(β) = 2R
z/(√15/4) = 4*8
z = 4√15 см
Это ответ.
Дано: ∠А = ∠А₁; АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁ .
Доказать: ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказательство:
Достроим на стороне АС треугольник АВ₂С, в котором углы, прилежащие к стороне АС, равны углам в треугольнике А₁В₁С₁ (как на рисунке) .
Тогда ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁ по двум углам. Запишем отношение сторон в этих треугольниках:
АВ₂ : А₁В₁ = АС : А₁С₁.
Сравним полученную пропорцию с данной в условии:
АВ : А₁В₁ = АС : А₁С₁
Значит, АВ₂ = АВ.
Но тогда ΔАВС = ΔАВ₂С по двум сторона и углу между ними (АС - общая, АВ₂ = АВ и ∠А = ∠А₁ = ∠1 по условию).
Итак, ΔАВС = ΔАВ₂С, а ΔАВ₂С подобен ΔА₁В₁С₁, значит
ΔАВС подобен ΔА₁В₁С₁.
Доказано.