Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке М. AМ = 20см, CM = 25. DM в 5 раз больше BM. Найти длину DM

1) Дуга ВС = 2 угла ВАС (т.к. угол вписанный)

Дуга ВС = 126°

2) Дуга ВД = дуге ДQ = дуге QC = 126° : 3 = 42°

3) Дуга ВАС = 360° - 126° = 234°

Проведем вписанный угол ВСМ так, чтобы он был равен 90°, тогда дуга

ВАМ будет равна 180°

Проведем вписанный угол ВАМ так, чтобы он был равен 90°, тогда угол САТ

будет равен 90° - 63° = 27°

Дуга СМ равна 2 угла САМ (т.к. он вписанный), тогда дуга СТ = 54°

4) Проведем вписанный угол АДТ так, чтобы он был равен 90°, тогда дуга АТ = 180°

Дуга АС = 180° - 42° - 42° = 96°

Дуга АВ = 234° - 96° = 138°

5) Дуга ВQ = дуга ВАС + дуга QC = 234° + 42° = 276°

Дуга ДС = дуга ВАС + дуга ВД = 234° + 42° = 276°

Дуга АQ = дуга АВ + ВД + ДQ = 138° + 42° + 42° = 222°

Дуга АД = дуга АС + ДQ + QC = 96° + 42° + 42° = 180°

6) Угол ВАС = 63° (по условию)

Угол ДВА = 1/2 дуги АД (т.к. вписанный) = 180° : 2 = 90°

Угол ВДQ = 1/2 дуги ВQ = 276° : 2 = 138°

Угол ДQC = 1/2 дуги ДС = 276° : 2 = 138°

Угол QCA = 1/2 дуги AQ = 222° : 2 = 111°

ответ: Угол ВАС = 63°, угол ДВА = 90°, угол ВДQ = 138°, угол ДQC = 138°, угол QCA = 111°

Теорема:
Если при пересечении двух прямых секущей, накрест лежащие углы равны, то прямые парал.
Дано:

АВ пересекает а и б
у.1=у.2
Док-ть
а//б
Док-во
Выполним построение:

1. Отметим середину отр АВ. АО=ОВ

2. Проведём перпенд. ОН к а

3. На прямой б от точки В отложим ВН = АН проведём отр. ОН

тр. ОНА=тр. ОН1В(АО=ОВ, АН=ВН, у1=у2)

сл-но у3=у4
Точка лежит на продолжении луча ОН, т.е точки Н, О и Н лежат на 1 прямой сл-но уОНА=уОН1В сл-го у5=у6=90* сл-но перпенд НН1
б парал НН1

сл-но а//б
                                                  чтд!