Точка касания вписанной в трапецию окружности делит одну боковую сторону на отрезки 9 см и 16 см, а другую - на отрезки, которые относятся как 4:9. Найти основания трапеции. -------- Пусть данная трапеция. АВСД. Точки касания на АВ, ВС, СД и ДА пусть будут ф, е, м, т соответственно. Пусть коэффициент отношения отрезков на АВ будет х. Тогда Вф=4х, Аф=9х Отрезки касательных из одной точки до точек касания равны. ⇒ Се=См=9 Дт=Дм=16 Вф=Ве=4х Аф=Ат=9х Опустим из С перпендикуляр СК на АД. Се=Кт=9 КД=16-9=7 Из ∆ СКД по т.Пифагора найдем СК=24. Опустим из В перпендикуляр на АД. Нт=Ве=4х⇒ АН=5х ВН=СК=24 АВ²-АН²=ВН² 169х²-25х²=576 144х²=576 х⇒2 ВС=4*2+9=17 см АД=9*2+16=34 см --------- Проверка. Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который вписана окружность. равны. АВ=13*2=26 АВ+СД=26+25=51 ВС+АД=17+34=51⇒ АВ+СД=ВС+АД=51
--------
Пусть данная трапеция. АВСД. Точки касания на АВ, ВС, СД и ДА пусть будут ф, е, м, т соответственно.
Пусть коэффициент отношения отрезков на АВ будет х.
Тогда Вф=4х, Аф=9х
Отрезки касательных из одной точки до точек касания равны. ⇒
Се=См=9
Дт=Дм=16
Вф=Ве=4х
Аф=Ат=9х
Опустим из С перпендикуляр СК на АД.
Се=Кт=9
КД=16-9=7
Из ∆ СКД по т.Пифагора найдем СК=24.
Опустим из В перпендикуляр на АД.
Нт=Ве=4х⇒
АН=5х
ВН=СК=24
АВ²-АН²=ВН²
169х²-25х²=576
144х²=576
х⇒2
ВС=4*2+9=17 см
АД=9*2+16=34 см
---------
Проверка.
Суммы противоположных сторон четырехугольника, в который вписана окружность. равны.
АВ=13*2=26
АВ+СД=26+25=51
ВС+АД=17+34=51⇒
АВ+СД=ВС+АД=51
Опустим из вершины В высоту ВE на основание AD.
Из вершины С высоту CF. Нижнее основание делится на три отрезка, причем АЕ=FD, а EF=ВС, обозначим AE и FD как х, а EF и BC, как у.
ТОгда средняя линия равна KL=(BC+AD)/2=(x+2y+x)/2=x+y
Т.е. нам нужно найти длину отрезка ED, который равен x+y
Рассмотрим треугольник EBD, он прямоугольный и его угол BDE=60, тогда угол EBD=90-60=30.
Как мы знаем, что катет противолежалий углу 30 градусов равен половине гиппотенузе. Гиппотенуза у нас BD=4, тогда ED=KL=2
ответ: KL=2