Все стороны правильного треугольника касаются сферы диаметром 4 дм, плоскость треугольника удалена на расстоянии 1 дм от центра сферы. Найдите сторону треугольника. Любое сечение сферы плоскостью - окружность. Плоскость треугольника АВС пересекает сферу по линии, являющейся окружностью с центром М (рис.1), Сделаем схематический рисунок (рис.2) Т.к. диаметр сферы=4 дм, ее радиус ОН равен 2 дм ОМ=1 дм, ОН=2 дм НМ=r По т.Пифагора r=√(2²-1²)=√3 Радиус вписанной в правильный треугольник окружности (а сечение сферы - вписанная в данный треугольник окружность) равен 1/3 высоты треугольника. (рис.3) Тогда высота треугольника СН=3*√3 Сторона правильного треугольника равна частному от деления его высоты на синус 60º АВ=АС=СВ=[3√3):√3]:2 АВ=6 дм
Пусть R - радиус сферы, H и D - высота и диаметр основания конуса. По условию, H=D. Если рассечь сферу плоскостью, проходящей через её центр, то в сечении мы получим окружность радиуса R, описанную около равнобедренного треугольника с основанием D=H и боковыми сторонами a. Так как по условию площадь поверхности сферы равна 125, то получаем уравнение 4*π*R²=125. По свойству вписанного в окружность треугольника, R=a*a*H/(4*S)=a²*H/(4*S), где S - площадь треугольника. Но S=(H/2)*H=H²/2, а по теореме Пифагора a²=H²+(H/2)²=5*H²/4. Отсюда R=5*H/8 и H=8*R/5. Площадь основания конуса S1=π*(H/2)²=π*H²/4=0,64*π*R². А так как 4*π*R²=125, то S1/125=0,64*π*R²/(4*π*R²)=0,16. Отсюда S1=0,16*125=20. ответ: 20.
Любое сечение сферы плоскостью - окружность.
Плоскость треугольника АВС пересекает сферу по линии, являющейся окружностью с центром М (рис.1),
Сделаем схематический рисунок (рис.2)
Т.к. диаметр сферы=4 дм, ее радиус ОН равен 2 дм
ОМ=1 дм, ОН=2 дм
НМ=r
По т.Пифагора
r=√(2²-1²)=√3
Радиус вписанной в правильный треугольник окружности (а сечение сферы - вписанная в данный треугольник окружность) равен 1/3 высоты треугольника. (рис.3)
Тогда высота треугольника СН=3*√3
Сторона правильного треугольника равна частному от деления его высоты на синус 60º
АВ=АС=СВ=[3√3):√3]:2
АВ=6 дм