в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
трапеция - четырехугольник, следовательно, если в неё можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
сумма оснований данной трапеции 3+5=8, а её средняя линия равна 4
пусть длина меньшего основания а . тогда длина большего - 8-а.
средняя линия трапеции делит саму трапецию на две меньшего размера, высоты каждой из которых равны половине высоты исходной.
площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
пусть высота каждой части трапеции равна h.
тогда площадь верхней трапеции будет (а+4)•h: 2,
а площадь большей (8-а+4)•h: 2=(12-а)•h: 2
по условию отношение этих площадей равно 5/11⇒
[ (а+4)•h: 2]: [ (12-а)•h: 2]=5/11
отсюда 60-5а=11а+44
16а=16
а=1
подробнее - на -
в четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин его противолежащих сторон равны.
трапеция - четырехугольник, следовательно, если в неё можно вписать окружность, то сумма ее оснований равна сумме боковых сторон.
сумма оснований данной трапеции 3+5=8, а её средняя линия равна 4
пусть длина меньшего основания а . тогда длина большего - 8-а.
средняя линия трапеции делит саму трапецию на две меньшего размера, высоты каждой из которых равны половине высоты исходной.
площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту.
пусть высота каждой части трапеции равна h.
тогда площадь верхней трапеции будет (а+4)•h: 2,
а площадь большей (8-а+4)•h: 2=(12-а)•h: 2
по условию отношение этих площадей равно 5/11⇒
[ (а+4)•h: 2]: [ (12-а)•h: 2]=5/11
отсюда 60-5а=11а+44
16а=16
а=1
подробнее - на -
Дано:
ABCD — прямоугольник,
AC ∩ BD=O,
∠AOD=φ.
Найти: ∠ACD.
Решение:
1) ∠DOC=180º-∠AOD=180º-φ (как смежные).
ugol mezhdu diagonalyami pryamougolnika raven
2) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Тогда
\[\angle OCD = \frac180}^o} - \angle AOD}}{2} = \frac180}^o} - ({{180}^o} - \varphi )}}{2} = \]
\[ = \frac180}^o} - {{180}^o} + \varphi }}{2} = \frac{\varphi }{2}.\]
(как угол при основании равнобедренного треугольника).
\[\angle ACD = \angle OCD = \frac{\varphi }{2}.\]
ответ: φ/2.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
Около любого прямоугольника можно описать окружность. Центр описанной около прямоугольника окружности — точка пересечения его диагоналей.
∠ACD — вписанный угол, ∠AOD — соответствующий ему центральный угол. Следовательно,
∠ACD=½ ∠AOD=φ/2.
Задача 2. (обратная к задаче 1)
Угол между диагональю прямоугольника и его большей стороной равен α. Найти меньший угол между диагоналями прямоугольника.
ugol mezhdu diagonalyu i storonoy pryamougolnika
1) Треугольник COD — равнобедренный с основанием CD
(так как OC=OD по свойству диагоналей прямоугольника).
Угол при вершине равнобедренного треугольника
∠COD=180º-2∠OCD=180º-2α.
2) ∠AOD=180º-∠COD (как смежные),
∠AOD=180º-(180º-2α)=180º-180º+2α=2α.
ответ: 2α.
Вывод: острый угол между диагоналями прямоугольника в два раза больше угла между диагональю прямоугольника и его большей стороной.