дам кучу, если решите ответьте и тут и тут: Получите 86 без учета "лучшего" В треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1, CC1. Чему может быть равен угол A треугольника ABC, если про углы треугольника A1B1C1 известно, что ∠A1=44∘, ∠B1=66∘, ∠C1=70∘?
(т.е. высота AA1 треугольника ABC является биссектрисой угла A1 ортотреугольника A1B1C1)
∪B1C1 =2B1BC1 =A1 =44
Если треугольник остроугольный, найдем BAC как угол между секущими:
BAC =∪BC/2 -∪B1C1/2 =90-22 =68
Если треугольник тупоугольный - рассмотрим △HBC - найдем BHC как угол между хордами:
BHC =∪BC/2 +∪B1C1/2 =90+22 =112
---------------------------------
М - середина BC. B1MC1 =∪B1C1 (центральный угол) =A1, т.е. M лежит на описанной окружности △A1B1C1.
Аналогично для всех середин сторон △ABC и середин сторон △AHB, △BHC, △AHC (для этих треугольников △A1B1C1 является ортотреугольником).
Описанная окружность ортотреугольника называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера (основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности).
Отрезок BC виден из точек С1 и B1 под прямым углом - точки B, C1, B1, C лежат на окружности c центром в середине BC.
B1BC1 =C1CB1
A1BC1H, A1CB1H - вписанные четырехугольники (т.к. противоположные углы прямые).
HA1C1 =HBC1, HA1B1=HCB1 => HA1C1=HA1B1
(т.е. высота AA1 треугольника ABC является биссектрисой угла A1 ортотреугольника A1B1C1)
∪B1C1 =2B1BC1 =A1 =44
Если треугольник остроугольный, найдем BAC как угол между секущими:
BAC =∪BC/2 -∪B1C1/2 =90-22 =68
Если треугольник тупоугольный - рассмотрим △HBC - найдем BHC как угол между хордами:
BHC =∪BC/2 +∪B1C1/2 =90+22 =112
---------------------------------
М - середина BC. B1MC1 =∪B1C1 (центральный угол) =A1, т.е. M лежит на описанной окружности △A1B1C1.
Аналогично для всех середин сторон △ABC и середин сторон △AHB, △BHC, △AHC (для этих треугольников △A1B1C1 является ортотреугольником).
Описанная окружность ортотреугольника называется окружностью девяти точек или окружностью Эйлера (основания высот, середины сторон и середины отрезков от ортоцентра до вершины лежат на одной окружности).