Дан остроугольный треугольник ABC с центром описанной окружности в точке О. Обозначьте через K основание перпендикуляра, опущенного из точки А на прямую СО. Пусть перпендикуляр опущенный из точки К на прямую ВС пересекает прямую АВ в точке N. Докажите что прямые CN и AB перпендикулярны.

Найти |MN|, если М(-5;6);N(2;4), по выражению  |MN| = корень из((х2-х1)^2 + (y2 - y1)^2) = кор.(2-(-5))^2 + (4-6)^2) = V(7^2 + 2^2) = V53.
Уравнение прямой через MN в виде кх + в находим в два этапа:
на 1 - находим коэффициент, характеризующий угол наклона прямой: к = Δу / Δх =  (y2 - y1) / (х2-х1) = -2/7.
 на 2 – определяем точку пересечения прямой оси у: она выше точки N на величину Δ, которую находим из пропорции  2/7 = Δ/2    Δ = 4/7. Значение в = 4+4/7 = 32/7. Уравнение прямой у = -2/7х + 32/7.
Уравнение окружности имеет вид  r^2 = (x-xo)^2 + (y-yo)^2.
Для окружности, если r=MN, с центром в точке N  (x-2)^2 + (у-4)^2 = 53,
с центром в точке M  (x+5)^2 + (y-6)^2 = 53.

Как правило, такое краткое условие дается с  рисунком. Понимается так: Сечение  конуса  образует равносторонний треугольник АВС  с основанием АС. Радиус основания конуса 10, образующая 12.   ОК⊥АС. Требуется найти высоту конуса ВО и длину отрезка ОК  

По условию ∆ АВС -равносторонний, боковые стороны равны 12, а диаметр основания равен 10•2=20. Следовательно, АВС не является осевым сечением конуса. Соединим центр О основания  с А и С. 

Треугольник АОС равнобедренный, АС=L=12 (из условия);   высота ОК делит его на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой, равной R=10, и катетами АК=АС:2=6 и ОК  (его длину нужно найти). 

Отношение АК:ОА=6:10=3:5, следовательно, ∆ АОК "египетский, его катет ОК=8 ( можно найти по т.Пифагора)

Высота  ВО конуса  перпендикулярна основанию и проецируется в его центр. ∆ ВОС - прямоугольный. Катет ОС=R=10, гипотенуза ВС=12. 

По т.Пифагора ВО=√(ВС²-ОС²)=√(144-100)=2√11