Дан параллелограмм abcd с длинами сторон 12 и 8. биссектрисы его углов при пересечении образуют четырёхугольник. чему равны длины диагоналей этого четырёхугольника?

Решение задачи указывает на некорректность её условия. Возможно, так и было задумано, чтобы найти в нём ошибку.  

———

ВВ1 перпендикулярен плоскости альфа, следовательно, этот отрезок перпендикулярен любой прямой, проходящей в этой плоскости через В1. 

BD=6√2 по условию. 

∆ ВАD- прямоугольный равнобедренный.  Его острые углы равны 45°⇒

AD=BD•sin45°=6

По условию AD лежит в плоскости α.

Поэтому по т. о 3-х перпендикулярах  В1А⊥AD и C1D⊥DA, и проекция квадрата ABCD на эту плоскость – прямоугольник АВ1С1D. 

Угол В1АD - прямой. 

Угол В1DА=60°(дано)

Проекция диагонали ВD на плоскость α –  В1D и является гипотенузой

 треугольника В1АD с прямым углом А.

B1D=AD:cos60°=6:1/2=12 (ед. длины)

———————

Мы получили проекцию наклонной, которая имеет большую длину, чем сама наклонная ВD. Т.е. в прямоугольном ∆ ВВ1D длина катета B1D  больше длины гипотенузы BD, чего быть не может.

Но если 

а) величина угла В1DА равна 30°,то проекция ВD на плоскост α  равна AD:cos30°=4√3. 

или 

б) угол В1DB=60° - В1D=3√2– тоже допустимый результат. 

Решение

  Пусть M – точка пересечения медиан прямоугольного треугольника ABC с катетами AC и BC, P и Q – проекции точки M на AC и BC соответственно,

MP = 3,  MQ = 4,  K – середина BC.

  Поскольку медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1,  считая от вершины треугольника, то  AC = 3PC = 3MQ = 12,  BC = 9.  Значит,  AB = 15,  SABC = ½ AC·BC = 54.

  Поскольку высота треугольника ABC, проведённая из вершины прямого угла, равна  AC·BC/AB = 36/5,  то искомое расстояние равно 12/5.

ответ

12/5.