Дан параллелограмм ABCD. Вершины A и D принадлежат некоторой плоскости. Из точки B опушен перпендикуляр на AD. Доказать, что BD перпендикулярна некоторой плоскости и найти площадь ABCD, если BD = 2, угол ABD=75, периметр ABCD = 104. Решение с чертежом
Чтобы доказать, что BD перпендикулярна некоторой плоскости, нам нужно вспомнить некоторые свойства параллелограмма и перпендикуляра.
1. В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Значит, AB = CD и BC = AD.
2. В параллелограмме противоположные углы равны. Значит, угол ABC = угол ADC.
Теперь рассмотрим треугольник ABD. Известно, что угол ABD = 75. Отсюда можно сделать следующие выводы:
1. Угол DAB = 180 - 90 - 75 = 15. Этот угол также будет прямым углом, так как прямой угол делится на два равных угла.
2. Угол DBC = 180 - 75 = 105. Так как угол ABC = угол ADC, а угол ABC = 105, то и угол ADC также будет равен 105.
Теперь докажем, что BD перпендикулярна некоторой плоскости.
Пусть M - середина стороны AD. Тогда BM будет медианой треугольника ABD. Медиана делит сторону треугольника пополам и проходит через середину противоположной стороны, что означает, что точки B, M и D лежат на одной прямой.
Также известно, что AB = CD и BC = AD, а значит, что AM и BD имеют одинаковую длину. Но BD также является перпендикуляром к AD, так как угол ABD = угол DAB = 15, значит, угол BDA = 90.
Итак, мы доказали, что BD перпендикулярна некоторой плоскости.
Теперь рассмотрим вторую часть вопроса - нахождение площади ABCD.
Для начала, найдем длину стороны AB. Поскольку угол ABD = 75, то у нас имеется равнобедренный треугольник ABD, в котором AB = AD.
Известно также, что периметр ABCD = 104, а значит, что AB + BC + CD + AD = 104.
Так как AB = CD и BC = AD, то это уравнение можно переписать в виде:
AB + BC + AB + BC = 104,
2AB + 2BC = 104,
AB + BC = 52.
Учитывая, что AB = AD, мы можем записать:
AD + BC = 52.
Теперь найдем значение BC. Заметим, что BC = AD, а значит:
2AD = 52,
AD = 26.
Таким образом, AB = AD = 26. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в котором AB = 26 и угол ABD = 75.
Используя тригонометрию, мы можем найти длину BD следующим образом:
sin(75) = BD/AB,
sin(75) = BD/26,
BD = 26 * sin(75).
Теперь можем найти площадь параллелограмма ABCD, которая равна произведению длины одной стороны на высоту, опущенную на эту сторону. Заметим, что высота параллелограмма равна длине BD.
Площадь ABCD = AB * BD = 26 * 26 * sin(75).
Таким образом, мы доказали, что BD перпендикулярна некоторой плоскости и нашли площадь ABCD равной 26 * 26 * sin(75).
Вот решение с чертежом, который поможет вам лучше визуализировать нашу задачу и доказательства: [вставить рисунок с параллелограммом ABCD, точкой B и перпендикуляром BD].