Дан прямоугольник АВСD, O – середина АС. Стороны прямоугольника равны 16 см и 10 см. Найдите площадь закрашенной фигуры. ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Дано:
Треугольник АВС, АВ=ВС, АС=12 см
Окружность с центром в точке О вписана в треугольник АВС.
KL, MN, PQ - касательные.
P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = 48 см

Найти: АВ

Решение:
Проведем радиусы окружности в точки касания (OX, OY, OZ и другие).
Рассмотрим треугольник KBL. Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны. Значит, KX=KY, LY=LZ. Таким образом, периметр треугольника KBL можно переписать в виде:
Р(KBL)=BK+BL+KY+LY=BK+BL+KX+LZ
Аналогично, можно переписать выражения для периметров треугольников MCN и PAQ (очередной отрезок заменяется на равный, который в отличие от предыдущего является частью периметра треугольника АВС).
Получившаяся сумма периметров всех трех треугольников будет равна периметру треугольника АВС.
P(KBL) + P(MCN) + P(PAQ) = P(АВС) = 48
P(АВС) = AB+ BC + AC
Так как треугольник равнобедренный, то:
P(АВС) = 2AB+ AC
Подставляем известные величины:
48 = 2AB+ 12
2AB = 36
АВ = 18 (см)
ответ: 18 см

1) координаты векторов АВ и СД:
      Вектор АВ                     Вектор СД
      x     y     z                        x     y      z
      1     1   -1                       -3    11    -7.
Модуль АВ = √3 = 1,732051.     
Модуль СД = √( 9 +121+ 49) =√179 = 13,37909.

2) 2АВ-4СД:      Вектор АВ x (n = 2)     Вектор СД x (n = 4)
                            x        y         z                   x         y        z
                            2        2        -2                 -12      44     -28.

3) косинус угла между векторами АВ и СД.
cos(AB˄СД) = (1*(-3 )+ 1*11 + (-1)*(-7)/(1,732051*13,37909) =
 = 15/23,17326 = 0,647298.