Дан: прямоугольный треугольник, гипотенуза и tg угла а найти катет. ​

Пусть имеем трапецию АВСД.
По заданию ВС = 4 см, АД = 8 см.
Площадь трапеции 21 см².

Находим высоту h трапеции.
h = S/Lср = 21/((4+8)/2) = 21/6 = 7/2.
Находим угол α между диагональю АС и стороной АД.
tg α = Н/(АД-((АД-ВС)/2))= (7/2)/(8-(8-4)/2) = 7/12.
α = arc tg (7/12) =  30,25644°.
Определяем величину половины угла А.
tg А = h/((АД-ВС)/2)) = (7/2)/((8-4)/2) = 7/4.
A = arc tg(7/4) =  60,25512°.
A/2 =  60,25512/2 =  30,12756°.

Отсюда видим, что биссектриса проходит ниже диагонали и пересекает боковую сторону.

Теорема косинусов для треугольника AМC
AC^2=AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC

Теорема косинусов для треугольника BМC
BC^2=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC

AC=BC (треугольник равносторонний) Тогда AC^2=BC^2

AM^2+MC^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2+MC^2-2*BM*CM*cosBMC
AM^2-2*AM*CM*cosAMC=BM^2-2*BM*CM*cosBMC

АМ и ВM знаем
2^2-2*2*CM*cosAMC=10^2-2*10*CM*cosBMC
4-4*CM*cosAMC=100-20*CM*cosBMC

Углы ВМС и ВАС равны, опираются на одну дугу. ВАС=60 - равносторонний треугольник.
Угол АМС=АМВ+ВМС=АСВ+ВАС=60+60=120

4-4*CM*cos120=100-20*CM*cos60
4-4*CM*(-1/2)=100-20*CM*1/2
4+2*CM=100-10*CM
12*CM=96
СМ=8