1) Находим радиус вписанной окружности, а для этого по формуле Герона находим площадь: S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)). р = (6+7+5)/2 = 9 S = √(9(9-6)(9-7)(9-5)) = √216 = 14.69693846 r = S / p = 14.69693846 / 9 = 1.63299316. Так как треугольники подобны, то площади пропорциональны квадрату коэффициента пропорциональности. Найдем высоту треугольника АВС: Hb= 2S / b = 2*14.69693846 / 7 = 4.1991253. Высота треугольника ВКМ меньше на 2 радиуса: hb = Hb - 2r = 4.1991253 - 2*1.63299316 = 0.93313895 Коэффициент пропорциональности к = hb / Hb = 0.9331389 / 4.1991253 = 0.22222222, к² = 0.04938272. Тогда S(BKM) = 14.69693846* 0.04938272 = 0.725774739 кв.ед. А периметр равен Р(АВС)*к = (6+7+5)*0.22222222 = = 18*0.22222222 = 4. 2) В этой задаче не улавливается зависимость между заданными площадями треугольников. 3) В этой задаче что то неверно в условии. Если диаметр , проходящий через вершину В, делит хорду KL пополам, то эта хорда перпендикулярна диаметру. При этом она не пересекает сторону ВС - смотри прилагаемый чертёж.
1 вариант.
1. OP/PK=MN/NK -теорема Фалеса
NK=PK*MN/OP=8*15/20=6см
2. Так как треугольники подобны, то АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1
Найдем коэффициент подобия ВС/В1С1=к
к=27/36
к=3/4
Теперь найдем неизвестные стороны
АВ/А1В1=3/4
АВ/28=3/4
4АВ=84
АВ=21см
АС/А1С1=3/4
9/А1С1=3/4
3А1С1=36
А1С1=12см
3. Биссектриса делит угол В пополам. Стороны АМ и МС - пропорционально прилежащие, следовательно треугольники подобны, ну а дальше составляешь пропорцию
АМ/МС = АВ/ВС
12/14 = 30/х
12х = 30*14 = 420
х=35
Ответ: 35
4. Дано:
Δ АВС; АД:ДВ=5:3; ДЕ║АС; АС=16 см.
Найти ДЕ.
Решение:
Δ АВС подобен Δ ДВЕ по 1 признаку подобия.
Следовательно, АВ\ДВ=АС\ДЕ
(5+3)\3=16\ДЕ
ДЕ=16*3:8=6 см
Ответ: 6 см.
5.BD = ВО + OD = 1,5 + 3,5 = 5 см
2 вариант.
1. ЕД=55-АЕ=55-40=15 см.
2. Раз треугольники подобны, то отношения их сходственные сторон равны.
Найдём отношение уже известных сторон:
BC/B1C1 = 22/33 = 2/3
Тогда AB/A1B1 = 2/3
AB/15 = 2/3 => AB = 15/3•2 = 10 см.
AC/A1C1 = 2/3
14/A1C1 = 2/3 => A1C1 = 14/2•3 = 21 см.
Ответ: A1C1 = 21 см; AB = 10 см.
3. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Тогда получаем следующее соотношение: EB/AB=EC/AC
Отсюда EB=EC*AB/AC=6*32/15=12 cm.
4. Дано:
Δ АВС; АЕ:ЕС=2:7; FЕ║АС; EF=21 см.
Найти AB.
Решение:
Δ АВС подобен Δ FCЕ по 1 признаку подобия.
Следовательно, АВ\EF=АС\CЕ
AB\21=(2+7)\7
AB=21*9:7=27 см
Ответ: 27 см.
5. ΔAOD∞ΔCOB^<BCA=<DAC и <CBD=<ADB-накрест лежащие
AD:BC=AO:OC
AD:(42-AD)=10:4
4AD=420-10AD
4AD+10AD=420
14AD=420
AD=420:14
AD=30
BC=42-AD=42-30=12
Ответ AD=30см,ВС=12см
р = (6+7+5)/2 = 9
S = √(9(9-6)(9-7)(9-5)) = √216 = 14.69693846
r = S / p = 14.69693846 / 9 = 1.63299316.
Так как треугольники подобны, то площади пропорциональны квадрату коэффициента пропорциональности.
Найдем высоту треугольника АВС:
Hb= 2S / b = 2*14.69693846 / 7 = 4.1991253.
Высота треугольника ВКМ меньше на 2 радиуса:
hb = Hb - 2r = 4.1991253 - 2*1.63299316 = 0.93313895
Коэффициент пропорциональности к = hb / Hb = 0.9331389 / 4.1991253 = 0.22222222,
к² = 0.04938272.
Тогда S(BKM) = 14.69693846* 0.04938272 = 0.725774739 кв.ед.
А периметр равен Р(АВС)*к = (6+7+5)*0.22222222 =
= 18*0.22222222 = 4.
2) В этой задаче не улавливается зависимость между заданными площадями треугольников.
3) В этой задаче что то неверно в условии.
Если диаметр , проходящий через вершину В, делит хорду KL пополам, то эта хорда перпендикулярна диаметру. При этом она не пересекает сторону ВС - смотри прилагаемый чертёж.
1. OP/PK=MN/NK -теорема Фалеса
NK=PK*MN/OP=8*15/20=6см
2. Так как треугольники подобны, то АВ/А1В1=ВС/В1С1=АС/А1С1
Найдем коэффициент подобия ВС/В1С1=к
к=27/36
к=3/4
Теперь найдем неизвестные стороны
АВ/А1В1=3/4
АВ/28=3/4
4АВ=84
АВ=21см
АС/А1С1=3/4
9/А1С1=3/4
3А1С1=36
А1С1=12см
3. Биссектриса делит угол В пополам. Стороны АМ и МС - пропорционально прилежащие, следовательно треугольники подобны, ну а дальше составляешь пропорцию
АМ/МС = АВ/ВС
12/14 = 30/х
12х = 30*14 = 420
х=35
Ответ: 35
4. Дано:
Δ АВС; АД:ДВ=5:3; ДЕ║АС; АС=16 см.
Найти ДЕ.
Решение:
Δ АВС подобен Δ ДВЕ по 1 признаку подобия.
Следовательно, АВ\ДВ=АС\ДЕ
(5+3)\3=16\ДЕ
ДЕ=16*3:8=6 см
Ответ: 6 см.
5.BD = ВО + OD = 1,5 + 3,5 = 5 см
2 вариант.
1. ЕД=55-АЕ=55-40=15 см.
2. Раз треугольники подобны, то отношения их сходственные сторон равны.
Найдём отношение уже известных сторон:
BC/B1C1 = 22/33 = 2/3
Тогда AB/A1B1 = 2/3
AB/15 = 2/3 => AB = 15/3•2 = 10 см.
AC/A1C1 = 2/3
14/A1C1 = 2/3 => A1C1 = 14/2•3 = 21 см.
Ответ: A1C1 = 21 см; AB = 10 см.
3. Биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
Тогда получаем следующее соотношение: EB/AB=EC/AC
Отсюда EB=EC*AB/AC=6*32/15=12 cm.
4. Дано:
Δ АВС; АЕ:ЕС=2:7; FЕ║АС; EF=21 см.
Найти AB.
Решение:
Δ АВС подобен Δ FCЕ по 1 признаку подобия.
Следовательно, АВ\EF=АС\CЕ
AB\21=(2+7)\7
AB=21*9:7=27 см
Ответ: 27 см.
5. ΔAOD∞ΔCOB^<BCA=<DAC и <CBD=<ADB-накрест лежащие
AD:BC=AO:OC
AD:(42-AD)=10:4
4AD=420-10AD
4AD+10AD=420
14AD=420
AD=420:14
AD=30
BC=42-AD=42-30=12
Ответ AD=30см,ВС=12см