Дан треугольник ABC, на стороне AC которого взята точка D такая, что AD=5 см, а DC=7 см. Отрезок DB делит треугольник ABC на два треугольника. При этом площадь треугольника ABC составляет 84 см2. Найди площадь меньшего из образовавшихся треугольников, ответ дай в квадратных сантиметрах.
Для начала, рассмотрим треугольник ABC и отрезок DB, который делит его на два треугольника. Обозначим площадь меньшего из этих треугольников как S. Заметим, что треугольник ABC и треугольник ADC вместе образуют всю площадь исходного треугольника ABC. Также, по условию задачи, площадь треугольника ABC равна 84 см².
Теперь перейдем к расчетам. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту. У треугольника ABC основание - сторона AC (пусть она равна b), а его высота - отрезок DB (пусть он равен h). Таким образом, площадь треугольника ABC равна (1/2)*b*h.
Также, чтобы найти площадь треугольника ADC, нужно использовать формулу для площади треугольника в координатной плоскости: площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения его сторон. Пусть сторона AD равна a, а сторона DC равна c. Тогда площадь треугольника ADC равна (1/2)*|AD x DC| = (1/2)*a*c*sin(θ), где θ - угол между сторонами AD и DC.
Заметим, что стороны треугольников ABC и ADC имеют общую сторону AD. Также, треугольники имеют общую высоту h, так как отрезок DB является высотой этих треугольников. Следовательно, площадь треугольника ADC можно выразить через площадь треугольника ABC: S = (1/2)*a*c*sin(θ) = (1/2)*b*h - 84.
Для дальнейшего решения, нам нужно найти основание треугольника ABC (сторону AC).
Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ACD, получаем a² + c² = b², где a = AD = 5 см, c = DC = 7 см.
Подставляя данные значения, получаем 5² + 7² = b², т.е. 25 + 49 = b², т.е. 74 = b².
Теперь мы можем найти b, взяв квадратный корень из обеих сторон уравнения: √74 = b.
Подставляя значение b в уравнение для площади, получаем: S = (1/2)*b*h - 84 = (1/2)*√74*h - 84.
Нам осталось найти высоту треугольника h. Для этого, рассмотрим отрезок DB. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника CDB, получаем (DB)² = (DC)² + (BC)², где DC = 7 см, BC = AC - AD, и AC = b. Таким образом, (DB)² = 7² + (AC - AD)².
Теперь подставляем полученное значение (DB)² в уравнение для площади: S = (1/2)*√74*h - 84 = (1/2)*√74*√[7² + (AC - AD)²] - 84.
Используя значение b = √74, мы можем записать уравнение в следующем виде: S = (1/2)*√[74]*(AC - 5) - 84.
Осталось найти площадь меньшего из образовавшихся треугольников, заменив S на искомую площадь. Тогда получим уравнение: S = (1/2)*√[74]*(AC - 5) - 84 = S.
Мы можем упростить это уравнение для нахождения AC:
(1/2)*√[74]*(AC - 5) = 84,
√[74]*(AC - 5) = 168,
AC - 5 = 168/√[74],
AC = 5 + 168/√[74].
Теперь, чтобы найти высоту h, можно использовать уравнение (DB)² = 7² + (AC - AD)², т.е. (DB)² = 49 + (AC - 5)². Но мы уже получили AC = 5 + 168/√[74]. Подставляя это значение в уравнение, получаем:
(DB)² = 49 + (5 + 168/√[74] - 5)²,
(DB)² = 49 + (168/√[74])²,
(DB)² = 49 + (168²/74),
(DB)² = 49 + 36096/74,
(DB)² = 49 + 487.7838,
(DB)² ≈ 536.7838.
Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон уравнения: DB ≈ √(536.7838),
DB ≈ 23.1702 см.
Таким образом, мы нашли высоту треугольника h (DB) и можем подставить все значения в уравнение для площади S:
S = (1/2)*√74*h - 84,
S = (1/2)*√74*23.1702 - 84,
S ≈ 719.29 - 84,
S ≈ 635.29 см².
Ответ: площадь меньшего из образовавшихся треугольников составляет примерно 635.29 квадратных сантиметров.