1)Надо продлить прямую AB за точку A до пересечения с прямой n в точке С, 2) обозначить центр окружности O. 3) провести из точки A перпендикуляр на n (то есть построить проекцию точки A на прямую n). Пусть это - точка N. 4) Проекция точки B на n - точка M 5) Проекция точки O (центра окружности) точка K; 6) через точку A надо провести прямую II n, пусть она пересекает BM в точке F и OK в точке E; 7) и последнее - через точку O тоже проводится прямая II n до пересечения с BM в точке D; Итак, есть касательная CK и секущая CB к окружности с центром в точке O. Очевидно, что AFMN - прямоугольник, поэтому BF = BM - AN = 5 - 1 = 4; в прямоугольном треугольнике AFB известны гипотенуза AB = 2√5 и катет BF = 4; откуда AF = 2; разумеется NM = AF = 2; и кроме того, AN = FM = EK = 1; поскольку AEKN - тоже прямоугольник. из подобия треугольников AFN и ACN легко найти CN = 1/2; Ясно, что CM = СN + NM = 1/2 + 2 = 5/2; чтобы дальше не тащить длинные буквенные обозначения, я обозначу радиус окружности R; и пусть CK = a; тогда OB = OA = OK = R; AE = CK - CN = a - 1/2; OD = CK - CM = a - 5/2; Из треугольника BOD OD^2 + BD^2 = OB^2; BD = BM - R; (a - 5/2)^2 + (5 - R)^2 = R^2; или a^2 - 5a + 25/4 + 25 - 10R = 0; Из треугольника AOE AE^2 + OE^2 = AO^2; OE = R - EK = R - 1; (a - 1/2)^2 + (R - 1)^2 = R^2; a^2 - a + 1/4 + 1 - 2R = 0; Если исключить R из двух полученных уравнений, получится a^2 = 25/4; или a = 5/2 или (-5/2); второе решение не надо "отбрасывать", это - не вермишель :). После этого легко найти и R, 2R = 1 + (a - 1/2)^2; в первом случае R = 5/2; во втором R = 5; Геометрически второе решение отличается от первого тем, что точка K лежит с другой стороны от точки C, чем точки M и N. поэтому a получилось отрицательное. При этом дуга окружности AB лежит ниже прямой AB.
№1. Надо через середину вектора РC провести плоскость, перпендикулярную РC и найти точку пересечения этой плоскости и оси Z. Точка пересечения будет очевидно равноудалена от точек Р и С. Вектор РC{-5;8;-1} (из координат начала вычитаем координаты конца), его середина - точка М(1,5;-1;1,5) (координаты середины отрезка PC находим по формуле x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2). Уравнение плоскости, проходящей через точку М(Хо;Yo;Zo) перпендикулярно вектору PC{n1;n2;n3}, выражается формулой: n1(X-Xo)+n2(Y-Yo)+n3(Z-Zo)=0. В нашем случае: -5Х+7,5+8Y+8-Z+1,5=0 или 5Х-8Y+z-17=0. Тогда точка К пересечения этой плоскости с осью 0z (х=0 и y=0) будет иметь координаты К(0;0;17). Сумма координат этой точки равна 17.
Проверка: найдем модули векторов КС и КР. Вектор КС{1;3;16}, вектор КР{4;-5;15}. Модули векторов: |КC|= √(1+9+256)=√266. |KP|=√(16+25+225)=√266.Итак, расстояния от точки К до точек С и Р равны.
№2. Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма, надо найти точку О пересечения его диагоналей (а так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, надо найти середину вектора АС) и найти координаты вектора ВD по координатам его начала (точка В) и середины (точка О). Итак, координаты точки О (середина отрезка АС) находим по формуле: x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2). В нашем случае это О(2,5;-0,5;-0,5). тогда координаты конца вектора ВD найдем по этой же формуле, подставив известные значения точек В и О: -2+Хd=5, 4+Yd=-1, -5+Zd=-1. Xd=7, Yd=-5, Zd=4. Итак, имеем точку D(7;-5;4). Тогда сумма координат этой точки равна 6.
Проверка: Вектора АВ и CD (также как и BC и АD) должны быть равны по модулю и коллинеарны. Найдем координаты векторов: AB={-6;5;-8}, CD{6;-5;8}. BC{3;-4;-1}, AD{3;-4;1} И их модули: |AB|=√125, |CD|=√125. |BC|=√26, |AD|=√26. Итак, фигура АВСD - параллелограмм.
3) провести из точки A перпендикуляр на n (то есть построить проекцию точки A на прямую n). Пусть это - точка N.
4) Проекция точки B на n - точка M
5) Проекция точки O (центра окружности) точка K;
6) через точку A надо провести прямую II n, пусть она пересекает BM в точке F и OK в точке E;
7) и последнее - через точку O тоже проводится прямая II n до пересечения с BM в точке D;
Итак, есть касательная CK и секущая CB к окружности с центром в точке O.
Очевидно, что AFMN - прямоугольник, поэтому
BF = BM - AN = 5 - 1 = 4;
в прямоугольном треугольнике AFB известны гипотенуза AB = 2√5 и катет BF = 4; откуда AF = 2; разумеется NM = AF = 2;
и кроме того, AN = FM = EK = 1; поскольку AEKN - тоже прямоугольник.
из подобия треугольников AFN и ACN легко найти CN = 1/2;
Ясно, что CM = СN + NM = 1/2 + 2 = 5/2;
чтобы дальше не тащить длинные буквенные обозначения, я обозначу радиус окружности R; и пусть CK = a;
тогда OB = OA = OK = R; AE = CK - CN = a - 1/2; OD = CK - CM = a - 5/2;
Из треугольника BOD OD^2 + BD^2 = OB^2; BD = BM - R;
(a - 5/2)^2 + (5 - R)^2 = R^2;
или a^2 - 5a + 25/4 + 25 - 10R = 0;
Из треугольника AOE AE^2 + OE^2 = AO^2; OE = R - EK = R - 1;
(a - 1/2)^2 + (R - 1)^2 = R^2;
a^2 - a + 1/4 + 1 - 2R = 0;
Если исключить R из двух полученных уравнений, получится
a^2 = 25/4; или a = 5/2 или (-5/2);
второе решение не надо "отбрасывать", это - не вермишель :).
После этого легко найти и R, 2R = 1 + (a - 1/2)^2;
в первом случае R = 5/2; во втором R = 5;
Геометрически второе решение отличается от первого тем, что точка K лежит с другой стороны от точки C, чем точки M и N. поэтому a получилось отрицательное. При этом дуга окружности AB лежит ниже прямой AB.
Вектор РC{-5;8;-1} (из координат начала вычитаем координаты конца), его середина -
точка М(1,5;-1;1,5) (координаты середины отрезка PC находим по формуле
x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2).
Уравнение плоскости, проходящей через точку М(Хо;Yo;Zo) перпендикулярно вектору
PC{n1;n2;n3}, выражается формулой:
n1(X-Xo)+n2(Y-Yo)+n3(Z-Zo)=0.
В нашем случае: -5Х+7,5+8Y+8-Z+1,5=0 или 5Х-8Y+z-17=0.
Тогда точка К пересечения этой плоскости с осью 0z (х=0 и y=0) будет иметь координаты К(0;0;17).
Сумма координат этой точки равна 17.
Проверка: найдем модули векторов КС и КР. Вектор КС{1;3;16}, вектор КР{4;-5;15}.
Модули векторов: |КC|= √(1+9+256)=√266. |KP|=√(16+25+225)=√266.Итак, расстояния от точки К до точек С и Р равны.
№2. Чтобы найти координаты вершины D параллелограмма, надо найти точку О пересечения его диагоналей (а так как в параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам, надо найти середину вектора АС) и найти координаты вектора ВD по координатам его начала (точка В) и середины (точка О).
Итак, координаты точки О (середина отрезка АС) находим по формуле: x=(x1+x2)/2, y=(y1+y2)/2, z=(z1+z2)/2).
В нашем случае это О(2,5;-0,5;-0,5). тогда координаты конца вектора ВD найдем по этой
же формуле, подставив известные значения точек В и О:
-2+Хd=5, 4+Yd=-1, -5+Zd=-1. Xd=7, Yd=-5, Zd=4. Итак, имеем точку D(7;-5;4).
Тогда сумма координат этой точки равна 6.
Проверка: Вектора АВ и CD (также как и BC и АD) должны быть равны по модулю и коллинеарны. Найдем координаты векторов:
AB={-6;5;-8}, CD{6;-5;8}. BC{3;-4;-1}, AD{3;-4;1} И их модули:
|AB|=√125, |CD|=√125. |BC|=√26, |AD|=√26. Итак, фигура АВСD - параллелограмм.