Дана правильная четырёхугольная пирамида mabcd, все рёбра которой равны 6. точка n — середина бокового ребра ma, точка k делит боковое ребро mb в отношении 5: 1, считая от вершины m.а) докажите, что сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки n и k параллельно прямой ad, является равнобедренной трапецией.б) найдите площадь этого сечения.
Для построения заданного сечения соединим точки N и K.
Т.к. сечение параллельно AD и проходит через точку N, то проводим в плоскости MAD прямую NP, параллельную AD - это средняя линия треугольника MAD.
Проведем прямую KL ║ BC в ΔMBC. Т.к. BC ║ AD, то KL ║ AD и следовательно прямая KL проходящая через точку K и будет одной из сторон сечения.
Окончательно соединяем точки P и L лежащие в одной плоскости и получаем сечение NKLP.
Т.к. KL ║ AD и NP ║ AD, то KL ║ NP и следовательно NKLP - трапеция.
ΔDMC = ΔAMB (т.к. пирамида правильная) ⇒ ∠DMC = ∠AMB
PM = NM (т.к. ΔDMA равносторонний и NP ║ AD)
LM = KM (т.к. ΔBMC равносторонний и KL ║ BC)
Тогда ΔPML = ΔNMK (по двум сторонам и углу между ними).
Следовательно PL = NK и трапеция NKLP - равнобедренная.
Одно из оснований трапеции PN = 3, т.к. является средней линией в ΔAMD с основанием AD = 6
Второе основание KL = 5, т.к. ΔBMC ≈ ΔKML (по трем углам) с коэффициентом подобия 6/5
Найдем боковую сторону трапеции PL из ΔPML, в котором ∠PML = 60°, PM = 3, LM = 5 по теореме косинусов:
Найдем высоту NH трапеции NKLP. Т.к. трапеция равнобедренная, то
Из прямоугольного ΔNHK
Окончательно находим площадь сечения: